安徽省滁州市定远县英华中学2025年数学高一第二学期期末联考试题含解析.doc

安徽省滁州市定远县英华中学2025年数学高一第二学期期末联考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③相等的角在直观图中仍然相等;④正方形的直观图是正方形.以上结论正确的是( )
A．①② B．① C．③④ D．①②③④
3．已知点G为的重心，若，，则=( )
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）
人
数据
甲
乙
丙
丁
平均数
8.6
8.9
8.9
8.2
方差
3.5
3.5
2.1
5.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知数列和数列都是无穷数列，若区间满足下列条件：①；②；则称数列和数列可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差
A． B． C． D．
7．若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（   ）
A． B． C． D．
10．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知且，则________
12．若集合，，则集合________.
13．设等差数列的前项和为，则______.
14．已知数列的前项和为，则其通项公式__________．
15．函数在内的单调递增区间为 ____.
16．函数的值域是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在三棱柱中，平面平面，，，为棱的中点．

（1）证明：；
（2）求三棱柱的高．
18．如图，已知四棱锥，侧面是正三角形，底面为边长2的菱形，，.

（1）设平面平面，求证：；
（2）求多面体的体积；
（3）求二面角的余弦值.
19．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价元
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
销量件
100
94
93
90
85
78
（1）若销量与单价服从线性相关关系，求该回归方程；
（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润。
附：对于一组数据，，……，
其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；
本题参考数值：．
20．已知，，且.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若用和分别表示函数W的最大值和最小值.当时，求的值.
21．已知数列的前项和．
（1）求数列通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由同向不等式的可加性求解即可.
【详解】
解：因为，
所以，
又，，
所以，
故选：B.
本题考查了不等式的性质，属基础题.
2、A
【解析】
由直观图的画法和相关性质，逐一进行判断即可.
【详解】
斜二侧画法会使直观图中的角度不同，也会使得沿垂直于
水平线方向的长度与原图不同，而多边形的边数不会改变，
同时平行直线之间的位置关系依旧保持平行，故：
①②正确，③和④不对，因为角度会发生改变.
故选：A.
本题考查斜二侧画法的相关性质，注意角度是发生改变的，这是易错点.
3、B
【解析】
由重心分中线为，可得，又（其中是中点），再由向量的加减法运算可得．
【详解】
设是中点，则，又为的重心，∴．
故选B．
本题考查向量的线性运算，解题关键是掌握三角形重心的性质，即重心分中线为两段．
4、C
【解析】
甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选．
【详解】
甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，
甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，
说明丙的成绩最稳定，
综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，
丙是最佳人选，
故选：C．
本题考查平均数和方差的实际应用，考查数据处理能力，求解时注意方差越小数据越稳定.
5、C
【解析】
直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．
【详解】
由题意，对于A：，，∵，∴不成立，所以A不正确；
对于B：由，，得不成立，所以B不正确；
对于C：，∵，∴成立，并且也成立，所以C正确；
对于D：由，，得，
∴不成立，所以D不正确；
故选：C．
本题考查新定义的理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题．
6、D
【解析】
，解得，则，故选D．
7、B
【解析】
结合数量积公式可求得、、的值，代入向量夹角公式即可求解．
【详解】
设向量与的夹角为，因为的夹角为，且，，
所以，
，
所以，
又因为
所以，故选B
本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题．
8、C
【解析】
结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
【详解】
当时,,当,因为在只有一条对称轴,可知,解得,故选C.
考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
9、D
【解析】
利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论．
【详解】
由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；
由于函数是偶函数，但它在区间上单调递增，故排除B；
由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除C；
由于函数是偶函数，且满足在区间上单调递减，故满足条件．
故答案为：D
本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10、C
【解析】
方砖上共分为九个全等的正方形，涂色方砖为其中的两块，由几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
由图形可知，方砖上共分为九个全等的正方形，涂色方砖为其中的两块，
由几何概型的概率公式可知，小狗最终停在涂色方砖的概率为，故选：C.
本题考查利用几何概型概率公式计算事件的概率，解题时要理解事件的基本类型，正确选择古典概型和几何概型概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据数列极限的方法求解即可.
【详解】
由题,故.
又.故.
故.
故答案为：
本题主要考查了数列极限的问题,属于基础题型.
12、
【解析】
由题意，得，，则.
13、
【解析】
设等差数列的公差为，由，可求出的值，结合，可以求出的值，利用等差数列的通项公式，可得，再利用，可以求出的值.
【详解】
设等差数列的公差为，因为，所以，又因为，所以，
而.
本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.
14、
【解析】
分析：先根据和项与通项关系得当时，，再检验，时，不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.
详解： ∵已知数列的前项和，
∴当时，，
当时，，
经检验，时，不满足上述式子，
故数列的通项公式．
点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
15、
【解析】
将函数进行化简为，求出其单调增区间再结合，可得结论.
【详解】
解：，
递增区间为：，
可得
，
在范围内单调递增区间为。
故答案为：.
本题考查了正弦函数的单调区间，属于基础题。
16、
【解析】
先求得函数的定义域，根据函数在定义域内的单调性，求得函数的值域.
【详解】
依题意可知，函数的定义域为，且函数在区间上为单调递增函数，故当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为.所以函数函数的值域是.
故答案为：.
本小题主要考查反正弦函数的定义域和单调性，考查正弦函数的单调性，考查利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接，，作为棱的中点，连结，，由平面平面，得到平面，则，再由，即可证明平面，从而得证；
（2）根据等体积法求出点面距.
【详解】
（1）证明：连接，．
∵，，
∴是等边三角形．
作为棱的中点，连结，，∴．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面．
∵平面，∴．
∵，
∴平行四边形是菱形．
∴．
又，分别为，的中点，
∴，∴．
又，平面，平面．
∴平面．
又平面，∴．

（2）解：连接，∵，，
∴为正三角形．
∵为的中点，∴，
同理可得
又∵平面平面，
且平面平面，平面，
∴平面．
∴，
又三棱柱的高即点到平面的距离．
在中，，，则．
又∵，
∴，

则．

本题考查线面垂直，线线垂直的证明，三棱锥的体积及点到平面的距离的计算，属于中档题.
18、（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
（1）由，证得平面，再由线面平行的性质，即可得到；
（2）取中点，连结，推得，，得到平面，
再由多面体的体积，结合体积公式，即可求解；
（3）由，设的中点为，连结，推得，从而得到就是二面角的平面角，由此可求得二面角的余弦值.
【详解】
证明：（1）因为平面平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以；
（2）取中点，连结，由得，
同理，又因为，所以平面，
在中，，所以，
所以多面体的体积
；
（3）由题意知，底面为边长2的菱形，，
所以，又，所以，
设的中点为，连结，
由侧面是正三角形知，，所以，
因此就是二面角的平面角，
在中，，，
由余弦定理得，
二面角的余弦值为.

本题主要考查了线面位置关系的判定，多面体的体积的计算，以及二面角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及而面积的平面角的定义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
19、（1）（2）为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.
【解析】
（1）先根据公式求，再根据求即可求解；（2）先求出利润的函数关系式，再求函数的最值.
【详解】
解: （1）=
…
又
所以

故回归方程为
（2）设该产品的售价为元，工厂利润为元，当时，利润，定价不合理。
由得，故

，
，
当且仅当，即时，取得最大值.
因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.
本题考查线性回归方程和二次函数的最值. 线性回归方程的计算要根据已知选择合适的公式.求二次函数的最值常用方法：1、根据函数单调性；2、配方法；3、基本不等式，注意等式成立的条件.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式可将化简为，进而求得函数的最小正周期；
（2）由可求得的范围，进而可求得的最大值和最小值，最后得解.
【详解】
（1）

∴；
（2），，，
∴当时，，
当时，，∴.
本题考查向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式，考查三角函数的单调性和周期性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
21、（1）；（2） .
【解析】
（1）根据和关系得到答案.
（2）首先计算数列通项，再根据裂项求和得到答案.
【详解】
解：（1）当时，
当时，
（2）

本题考查了和关系，裂项求和，是数列的常考题型.