北京市东城五中2025年数学高一下期末质量检测模拟试题含解析.doc

北京市东城五中2025年数学高一下期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（ ）

A． B． C． D．
2．如图，在长方体中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（ ）

A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．函数，，若在区间上是单调函数，，则的值为（ ）
A． B．2 C．或 D．或2
4．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，为的外接圆的圆心，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知是奇函数，且.若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=
A． B． C． D．
8．如图，在中，，点在边上，且，则等于（ ）

A． B． C． D．
9．已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．向量，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为60° D．与的夹角为30°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．正项等比数列中，为数列的前n项和，，则的取值范围是____________．
12．函数的单调递减区间是______.
13．设变量满足条件，则的最小值为___________
14．如图，在中，，，，则________.

15．已知，，若，则的取值范围是__________．
16．若三角形ABC的三个角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为角A，B，C的对边，三角形ABC的面积，则b的最小值是________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设等差数列的前项和为，且（是常数，），.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
18．已知函数，．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．
19． “精准扶贫”的重要思想最早在2013年11月提出，到湘西考察时首次作出“实事求是，因地制宜，分类指导，精准扶贫”的重要指导。2015年在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫。某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A、B两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫。通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
编号
1
2
3
4
5
年份
2015
2016
2017
2018
2019
单价(元/公斤)
18
20
23
25
29
药材B的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

（1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材A的单价；
（2）用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A还是药材B？并说明理由.
附：，.
20．（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为，求为整数的概率？
（2）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去．试求这两人能会面的概率？
21．已知函数为奇函数，且，其中，.
（1）求，的值.
（2）若，，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.
【详解】
在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
故选：D
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题.
2、D
【解析】
建立空间直角坐标系，结合，求出的坐标，利用向量夹角公式可求.
【详解】
以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图,

设,则,,
,
因为,所以,即有.
因为,所以,即异面直线和所成角为.
故选：D.
本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解.
3、D
【解析】
先根据单调性得到的范围，然后根据得到的对称轴和对称中心，考虑对称轴和对称中心是否在同一周期内，分析得到的值.
【详解】
因为，则；又因为，则由可知得一条对称轴为，又因为在区间上是单调函数，则由可知的一个对称中心为；若与是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以；若与不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以.
对称轴和对称中心的判断：
对称轴：，则图象关于对称；
对称中心：，则图象关于成中心对称.
4、B
【解析】
首先根据降幂公式以及辅助角公式化简，把带入利用余弦定理以及基本不等式即可．
【详解】
由题意得
，为三角形内角所以，所以，因为，所以，，当且仅当时取等号 ，因为，所以，所以选择B
本题主要考查了三角函数的化简，以及余弦定理和基本不等式．在化简的过程中常用到的公式有辅助角、二倍角、两角和与差的正弦、余弦等．属于中等题．
5、A
【解析】
利用正弦定理可求出的外接圆半径.
【详解】
由正弦定理可得，因此，，故选A.
本题考查利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考查计算能力，属于基础题.
6、C
【解析】
根据题意，由奇函数的性质可得，变形可得：，结合题意计算可得的值，进而计算可得答案．
【详解】
根据题意，是奇函数，则，
变形可得：，则有，
即，
又由，则，
，
故选：．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及诱导公式的应用，属于基础题．
7、A
【解析】
分析：累加法求解。
详解：，，
解得
点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法。
8、C
【解析】
在中，由余弦定理求得，在中，利用正弦定理求得BD，则可得CD.
【详解】
在中，由余弦定理可得.
又，故为直角三角形，故.
因为，且为锐角，故.
由
利用正弦定理可得，代值可得，
故.
故选：C.
本题考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，属于综合基础题.
9、B
【解析】
根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.
【详解】
由题意知： ，则

设向量与向量的夹角为
则
本题正确选项：
本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.
10、B
【解析】
试题分析：由，可得，所以，故选B．
考点：向量的运算．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用结合基本不等式求得的取值范围
【详解】
由题意知，，且，所以，当且仅当等号成立，所以.
故答案为：
本题考查等比数列的前n项和及性质，利用性质结合基本不等式求最值是关键
12、
【解析】
求出函数的定义域，结合复合函数求单调性的方法求解即可.
【详解】
由，解得
令，则
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
函数在定义域内单调递增
函数的单调递减区间是
故答案为：
本题主要考查了复合函数的单调性，属于中档题.
13、-1
【解析】
根据线性规划的基本方法求解即可.
【详解】
画出可行域有：

因为.根据当直线纵截距最大时, 取得最小值.由图易得在处取得最小值.
故答案为：
本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.
14、
【解析】
先将转化为和为基底的两组向量，然后通过数量积即可得到答案.
【详解】
，
.
本题主要考查向量的基本运算，数量积运算，意在考查学生的分析能力和计算能力.
15、
【解析】
数形结合法，注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．

结合图形不难求得，当－3＜b≤3时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y＞0)有公共点．
16、
【解析】
先求出，再根据面积得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.
【详解】
由题得,
所以.
由余弦定理得，
当且仅当时取等.
所以b的最小值是.
故答案为：
本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ； (2)
【解析】
（1）先令得出，再令，利用作差法得出，于此得出，可由和的值求出等差数列的公差，于此可求出等差数列的通项公式；
（2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出数列的前项和.
【详解】
（1）因为，所以当时，，解得.
当时，，即.
解得，所以，解得，则.
数列的公差.所以；
（2）因为，
所以，①
，②
由①－②可得，
所以.
本题考查等差数列通项的求解，考查错位相减法求和，解题时要注意错位相减求和法所适用数列通项的结构类型，要熟练错位相减法求和的基本步骤，难点在于计算量较大，属于中等题．
18、（1），．（2）
【解析】
（1）利用降次公式和辅助角公式化简表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调减区间.
（2）首先求得当时的值域.利用换元法令，将转化为，根据的范围，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】
（1）

由 （）
解得 （）．
所以所求函数的单调减区间是 ，．
（2）当时，，，
即．
令 （），则关于的方程在上有解，
即关于的方程在上有解．
当时，．
所以，则．
因此所求实数的取值范围是 ．
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查根据方程的根存在求参数的取值范围，考查二次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19、（1），当时，；（2）应该种植A种药材
【解析】
(1)首先计算和,将数据代入公式得到回归方程,再取得到2020年单价.
(2)计算B药材的平均产量,得到B药材的总产值,与(1)中A药材作比较,选出高的一个.
【详解】
解:(1),

,当时，
(2)利用概率和为1得到430—450频率/组距为0.005
B药材的亩产量的平均值为:
故A药材产值为
B药材产值为
应该种植A种药材
本题考查了回归方程及平均值的计算，意在考察学生的计算能力.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）分别求出基本事件总数及为整数的事件数，再由古典概型概率公式求解；
（2）建立坐标系，找出会面的区域，用会面的区域面积比总区域面积得答案．
【详解】
（1）所有的基本事件共有4×3=12个，记事件A={为整数}，因为，则事件A包含的基本事件共有2个，
∴p（A）=；
（2）以x、y分别表示两人到达时刻，
则．两人能会面的充要条件是．
建立直角坐标系如下图：

∴P=．
∴这两人能会面的概率为．
本题考查古典概型与几何概型概率的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
21、 (1)；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据奇函数性质得y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，解得θ＝ ，再根据解得a（2）根据条件化简得sinα＝，根据同角三角函数关系得cosα，最后根据两角和正弦公式求sin的值
试题解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)，
由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝－sin 4x，因为f＝－sin α＝－，
即sin α＝，又α∈，从而cos α＝－，
所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.