安徽省定远启明中学2025年高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

安徽省定远启明中学2025年高一数学第二学期期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若实数，满足不等式组则的最大值为（ ）
A． B．2 C．5 D．7
2．已知、是平面上两个不共线的向量，则下列关系式：①；②；③；④.正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：
A．281盏 B．9盏 C．6盏 D．3盏
4．若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．若过点，的直线与直线平行，则的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
7．某市举行“精英杯”数学挑战赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示，该校有130名学生获得了复赛资格，则该校参加初赛的人数约为（ ）

A．200 B．400 C．2000 D．4000
8．若函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的函数图象关于对称，则的值为
A． B． C． D．
9．已知数列的前项和满足.若对任意正整数都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知三个互不相等的负数，，满足，设，，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaac newton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x分钟后物体的温度满足：（其中…为自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）.
12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为 ______．
13．在等比数列中，，公比，若，则的值为 ．
14．设等比数列的前项和为，若，,则的值为______．
15．已知为直线，为平面，下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的序号是______．
16．若数列满足，，则的最小值为__________________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．

（1）求线段的长度；
（2）若，求两条观光线路与之和的最大值．
18．已知各项为正数的数列满足：且．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，证明：对一切正整数n，都有
19．已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）设，若恒成立，求的取值范围.
20．高一某班以小组为单位在周末进行了一次社会实践活动，且每小组有5名同学，活动结束后，对所有参加活动的同学进行测评，其中A，B两个小组所得分数如下表：
A组
86
77
80
94
88
B组
91
83
？
75
93
其中B组一同学的分数已被污损，看不清楚了，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高出1分.
（1）若从B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；
（2）从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，求的概率.
21．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用线性规划数形结合分析解答.
【详解】
由约束条件，作出可行域如图：

由得A(3,-2).
由，化为，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为5.
故选C.
本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
2、C
【解析】
根据数量积的运算性质对选项进行逐一判断，即可得到答案．
【详解】
① . ，满足交换律，正确.
② . ,满足分配律，正确.
③ .,所以不正确.
④ . ,
，可正可负可为0，所以④不正确.
故选：C
本题考查向量数量积的运算性质，属于中档题
3、D
【解析】
设塔的顶层共有盏灯，得到数列的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解．
【详解】
设塔的顶层共有盏灯，则数列的公比为2的等比数列，
所以，解得，
即塔的顶层共有3盏灯，故选D．
本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
4、D
【解析】
对任意，不等式恒成立，即恒成立，代入计算得到答案.
【详解】
对任意，不等式恒成立
即恒成立

故答案为D
本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.
5、B
【解析】
根据为定值，那么乘以后值不变，由基本不等式可消去x，y后，对得到的不等式因式分解，即可解得m的值．
【详解】
因为，，，
所以
.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.
本题考查基本不等式，由为定值和已知不等式相乘来构造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解题关键．
6、A
【解析】
首先设一条与已知直线平行的直线，点，代入直线方程即可求出的值.
【详解】
设与直线平行的直线：，
点，代入直线方程，
有.
故选：A.
本题考查了利用直线的平行关系求参数，属于基础题.
注意直线与直线在时相互平行.
7、A
【解析】
由频率和为1，可算得成绩大于90分对应的频率，然后由频数÷总数=频率，即可得到本题答案.
【详解】
由图，得成绩大于90分对应的频率=，
设该校参加初赛的人数为x，则，得，
所以该校参加初赛的人数约为200.
故选：A
本题主要考查频率直方图的相关计算，涉及到频率和为1以及频数÷总数=频率的应用.
8、C
【解析】
先由题意求出平移后的函数解析式，再由对称中心，即可求出结果.
【详解】
函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后,可得函数的图像，
又函数的图象关于对称，
，，
故，
又，时，.
故选C.
本题主要考查由平移后的函数性质求参数的问题，熟记正弦函数的对称性，以及函数的平移原则即可，属于常考题型.
9、C
【解析】
先利用求出数列的通项公式，于是可求出，再利用参变量分离法得到，利用数列的单调性求出数列的最小项的值，可得出实数的取值范围．
【详解】
当时，，即，得；
当时，由，得，两式相减得，得，
，所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，.
，
由，得，
所以，数列单调递增，其最小项为，所以，，
因此，实数的取值范围是，故选C．
本题考查利用数列前项和求数列的通项，其关系式为，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．
10、C
【解析】
作差后利用已知条件变形为，可知为负数，由此可得答案.
【详解】
由题知

.
因为，，都是负数且互不相等，所以，即.
故选：C
本题考查了作差比较大小，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、45
【解析】
直接利用对数的运算性质计算即可,
【详解】
.
故答案为：45.
本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.
12、0.56
【解析】
根据在一次射击中，甲、乙同时射中目标是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
【详解】
由题意，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，
所以两人均中靶的概率为，
故答案为0.56
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中合理利用相互独立的概率乘法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13、1
【解析】
因为，
，故答案为1．
考点：等比数列的通项公式．
14、16
【解析】
利用及可计算，从而可计算的值.
【详解】
因为，故，
因为，故，故，
故填16.
等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
15、③④
【解析】
①和②均可以找到不符合题意的位置关系，则①和②错误；根据线面垂直性质定理和空间中的平行垂直关系可知③和④正确.
【详解】
若，此时或，①错误；
若，此时或异面，②错误；
由线面垂直的性质定理可知，若，则，③正确；
两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线必垂直于该平面，可知④正确
本题正确结果：③④
本题考查空间中的平行与垂直关系相关命题的判断，考查学生对于平行与垂直的判定和性质的掌握情况.
16、
【解析】
由题又,故考虑用累加法求通项公式,再分析的最小值.
【详解】
,故,
当且仅当时成立.又为正整数,且,故考查当时.
当时,当时,因为,
故当时, 取最小值为.
故答案为：.
本题主要考查累加法,求最小值时先用基本不等式,发现不满足“三相等”,故考虑与相等时的取值最近的两个正整数.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3；（2）1.
【解析】
（1），．用余弦定理，即可求出；
（2）设，，用正弦定理求出，，展开，结合辅助角公式可化为，由的取值范围，即可求解.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
，
所以线段的长度为3千米．
（2）设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
．
所以，，
因此

，
因为，所以．
所以当，即时，取到最大值1．
答：两条观光线路距离之和的最大值为1千米．
本题考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，尤其是辅助角公式要熟练应用，属于中档题.
18、（1）证明见解析．（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.
（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.
【详解】
（1）证明：各项为正数的数列满足：
则，，
同取倒数可得，
所以，
由等差数列定义可知数列为等差数列．
（2）证明： 由（1）可知数列为等差数列．，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列.
则，
令，
因为，
所以，
则，
所以，
所以
，
所以

由不等式性质可知，若，则总成立，
因而，
所以

所以
不等式得证.
本题考查了数列递推公式的应用，由定义证明等差数列，换元法及放缩法在证明不等式中的应用，属于中档题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）由，转化为，利用弦化切的思想得出的值，从而求出的值；
（2）由，转化为，然后利用平面向量数量积的坐标运算律和辅助角公式与函数的解析式进行化简，并求出在区间的最大值，即可得出实数的取值范围．
【详解】
（1）∵，且，，，
∴，即，又∵，∴；
（2）易知，，
∵，∴，，
当时，，取得最大值：，
又恒成立，即，故．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的最值，在求解含参函数的不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，考查转化与化归数学思想，考查计算能力，属于中等题．
20、（1） （2）
【解析】
（1）先设在B组中看不清的那个同学的分数为x，分别求得两组的平均数，再由平均数间的关系求解.
（2）先求出从A组这5名学生中随机抽取2名同学所有方法数，再用列举的方法得到满足求的方法数，再由古典概型求解.
【详解】
（1）设在B组中看不清的那个同学的分数为x
由题意得
解得x=88
所以在B组5个分数超过85的有3个
所以得分超过85分的概率是
（2）从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，则所有 共有共10个
其中满足求的有: 共6个
故|的概率为 
本题主要考查了平均数和古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21、（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
试题分析：(1)利用题中所给的定义，通过二次函数的判别式大于0，证明二次函数有局部对称点；(2)利用方程有解，通过换元，转化为打钩函数有解问题，利用函数的图象，确定实数c的取值范围；(3)利用方程有解，通过换元，转化为二次函数在给定区间有解，建立不等式组，通过解不等式组，求得实数的取值范围.
试题解析：(1)由得=,代入得,
=,得到关于的方程=).
其中,由于且,所以恒成立,
所以函数=)必有局部对称点.
(2)方程=在区间上有解,于是,
设),,,
其中，所以.
(3),由于,
所以=.
于是=(*)在上有解.
令),则,
所以方程(*)变为=在区间内有解,
需满足条件:.
即,，化简得.