2025年山东省青岛市黄岛区数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年山东省青岛市黄岛区数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北方向，则这时船与灯塔的距离是：

A．10km
B．20km
C．
D．
2．若，且为第四象限角，则的值等于
A． B． C． D．
3．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．255 B．375 C．250 D．200
4．数列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，则a2019的值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．
5．如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考察的所有运算结果，则（ ）

A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
6．若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．－3 B．1 C．9 D．10
7．过点P（0，2）作直线x+my﹣4＝0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y﹣14＝0的距离最小值为（　　）
A．0 B．2 C． D．2
8．若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为（，称为黄金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72，肚脐至足底长度为103，根据以上数据，作为形象设计师的你，对TA的着装建议是（ ）
A．身材完美，无需改善 B．可以戴一顶合适高度的帽子
C．可以穿一双合适高度的增高鞋 D．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子
9．在△ABC中，若a=2bsinA,则B为
A． B． C．或 D．或
10．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：
考试次数x

1

2

3

4

所减分数y

4.5

4

3

2.5

显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（ ）
A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，是第三象限角，则 .
12．已知扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积为_______.
13．已知两条直线, 将圆及其内部划分成三个部分, 则的取值范围是_______；若划分成的三个部分中有两部分的面积相等, 则的取值有_______种可能.
14．已知数列是等比数列，若，，则公比________.
15．若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为________．
16．已知，，，则在方向上的投影为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求经过点且分别满足下列条件的直线的一般式方程.
（1）倾斜角为45°；
（2）在轴上的截距为5；
（3）在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为4.
18．已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
20．如图，已知矩形中，，，M是以为直径的半圆周上的任意一点（与C，D均不重合），且平面平面.

（1）求证：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求与所成的角
21．在中，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
在中，利用正弦定理求出得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案．
【详解】
由题意，可得，即，
在中，利用正弦定理得，
即这时船与灯塔的距离是，故选C．
本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2、D
【解析】
试题分析：∵为第四象限角，，∴，
．故选D．
考点：同角间的三角函数关系．
【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．
3、A
【解析】
由等比数列的性质，仍是等比数列，先由是等比数列求出，再由是等比数列，可得.
【详解】
由题得，成等比数列，则有，，解得，同理有，，解得.
故选：A
本题考查等比数列前n项和的性质，这道题也可以先由求出数列的首项和公比q，再由前n项和公式直接得。
4、B
【解析】
根据递推公式，算出即可观察出数列的周期为3，根据周期即可得结果．
【详解】
解：由已知得，，，
，…，，
所以数列是以3为周期的周期数列，故，
故选：B．
本题考查递推数列的直接应用，难度较易．
5、B
【解析】
设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简，进而求得最值的情况.
【详解】
依题意，所以.设，则，所以，，所以，当时，取得最大值为.
，所以，所以，当时，有最小值为.故选B.
本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
6、C
【解析】
画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线到的位置，此时目标函数取得最大值为.
故选C.

本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
7、C
【解析】
由直线过定点，得到的中点，由垂直直线，得到点在以点为圆心，以为半径的圆，求得圆的方程，由此求出到直线的距离最小值，得到答案．
【详解】
由题意，过点作直线的垂线，垂足为，
直线过定点，
由中点公式可得，的中点，
由垂直直线，
所以点点在以点为圆心，以为半径的圆，
其圆的方程为，
则圆心到直线的距离为
所以点到直线的距离最小值；，
故选：C．

本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系的应用，同时涉及到点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．
8、C
【解析】
对每一个选项逐一分析研究得解.
【详解】
A.,所以她的身材不完美，需要改善，所以该选项是错误的；
B.假设她需要戴上高度为x厘米的帽子，则，显然不符合实际，所以该选项是错误的;
C．假设她可以穿一双合适高度为y的增高鞋，则，所以该选项是正确的；
D.假设同时穿戴同样高度z的增高鞋与帽子,则，显然不符合实际，所以该选项是错误的.
故选：C
本题主要考查学生对新定义的理解和应用，属于基础题.
9、C
【解析】
， ，则或，选C.
10、D
【解析】
试题分析：先求样本中心点，利用线性回归方程一定过样本中心点，代入验证，可得结论．
解：先求样本中心点，，
由于线性回归方程一定过样本中心点，代入验证可知y=﹣0.7x+5.25，满足题意
故选D．
点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程一定过样本中心点，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
试题分析：根据同角三角函数的基本关系知，，化简整理得①，又因为②，联立方程①②即可解得：，，又因为是第三象限角，所以，故.
考点：同角三角函数的基本关系.
12、
【解析】
用弧度制表示出圆心角，然后根据扇形面积公式计算出扇形的面积.
【详解】
圆心角为对应的弧度为，所以扇形的面积为.
故答案为：
本小题主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面积的计算，属于基础题.
13、 3
【解析】
易知直线过定点，再结合图形求解.
【详解】
依题意得直线过定点，如图：

若两直线将圆分成三个部分，
则直线必须与圆相交于图中阴影部分.
又，
所以的取值范围是；
当直线位于时，
划分成的三个部分中有两部分的面积相等.
本题考查直线和圆的位置关系的应用，直线的斜率，结合图形是此题的关键.
14、
【解析】
利用等比数列的通项公式即可得出．
【详解】
∵数列是等比数列，若，，则，解得，即.
故答案为：
本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．
15、
【解析】
首先根据题意画出图形，再根据求出直线的倾斜角，求斜率即可.
【详解】
如图所示

直线与圆恒过定点，不妨设，
因为，
所以，
两种情况讨论，
可得，.
所以斜率.
故答案为：
本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.
16、
【解析】
根据数量积的几何意义计算．
【详解】
在方向上的投影为．
故答案为：1．
本题考查向量的投影，掌握投影的概念是解题基础．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）（3）
【解析】
（1）利用斜率和倾斜角的关系，可以求出斜率，可以用点斜式写出直线方程，最后化为一般方程；
（2）设出直线的斜截式方程，把点代入方程中求出斜率，进而可求出方程，化为一般式方程即可；
（3）设出直线的截距式方程，利用面积公式和已知条件，可以求出所设参数，即可求出直线方程，化为一般式即可.
【详解】
（1）因为直线的倾斜角为45°，所以斜率，
代入点斜式，即.
（2）因为直线在轴上的截距是5，所以设直线方程为：，
代入点得，故直线方程为.
（3）设所求直线方程为
则，即，
解之得，，
所以直线方程为，即.
本题考查了利用点斜式、截距式、斜截式求直线方程，正确选择方程的形式是解题的关键.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量垂直的坐标运算可得，再求解即可；
（2）利用三角函数诱导公式可得原式，再构造齐次式求解即可.
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为，，所以，
即，故.
（2）

.
本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了三角函数诱导公式及构造齐次式求值，属中档题.
19、 (1) (2)
【解析】
（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合范围，可求．
（2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算得解的周长的值．
【详解】
解：（1）∵，
∴由正弦定理可得：
，
即，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，的面积为，
，
∴，
∴由余弦定理可得：
，
∴解得：，
∴的周长.
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）证明，得到平面，得到答案.
（2）过点M作于点E，当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大，作于F，连接，与所成的角即与所成的角，计算得到答案.
【详解】
（1）为直径，，已知平面平面，.
平面，所以，
又，平面，又平面，
∴平面平面.
（2）过点M作于点E， ∵平面平面，
平面，即为四棱锥的高，又底面面积为定值.
所以当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大.
作于F，连接，
，与所成的角即与所成的角.
在直角中，，
，所以.
，故与所成的角为.

本题考查了面面垂直，体积的最值，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
21、
【解析】
由
即，
解得：（因为舍去）或.