2024-2025学年河北省廊坊市名校高一下数学期末调研试题含解析.doc

2024-2025学年河北省廊坊市名校高一下数学期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在四边形中，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的是（ ）

A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面
D．平面平面
2．已知数列是等比数列，若，且公比，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B．
C． D．
4．设的内角，，所对的边分别为，，,且，，面积的最大值为（）
A．6 B．8 C．7 D．9
5．已知三角形为等边三角形，，设点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知三棱柱( )
A． B． C． D．
7．如图，正四棱柱中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．三棱锥的高，若，二面角为，为的重心，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点在第三象限，则角的终边在（　 ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．设为两条不同的直线，为三个不重合平面，则下列结论正确的是( )
A．若，，则 B．若， 则
C．若，，则 D．若，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_____________．
①总存在某个内角，使得；
②存在某钝角，有；
③若，则的最小角小于．
12．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．设y＝f（x）是定义域为R的偶函数，且它的图象关于点（2，0）对称，若当x∈（0，2）时，f（x）＝x2，则f（19）＝_____
14．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．

15．若是三角形的内角，且，则等于_____________．
16．设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量．
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若向量与垂直，求的值．
18．在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资增加基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作年，则他在第年的月工资收入分别是多少?
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么?
（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元），并说明理由.
19．如图，在中，已知点D在边BC上，，的面积是面积的倍，且，.

（1）求；
（2）求边BC的长.
20．设数列的前项和为，点均在函数的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.
21．已知圆心在直线上的圆C经过点，且与直线相切.
（1）求过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线方程；
（2）过点P作两条相异的直线分别与圆C交于A，B，若直线PA，PB的倾斜角互补，试判断直线AB与OP的位置关系（O为坐标原点），并证明.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
折叠过程中，仍有，根据平面平面可证得平面，从而得到正确的选项.
【详解】

在直角梯形中，因为为等腰直角三角形，故，
所以，故，
折起后仍然满足.因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面，因平面，所以.
又因为，，所以平面，
因平面，所以平面平面.
面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.
2、C
【解析】
由可得，结合可得结果.
【详解】
，
，
，
，
，
，故选C.
本题主要考查等比数列的通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
3、B
【解析】
绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.

【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
4、D
【解析】
由已知利用基本不等式求得的最大值，根据三角形的面积公式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，利用基本不等式可得，即，解得，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以，
当且仅当时等号成立，故三角形的面积的最大值为，
故选D.
本题主要考查了基本不等式的应用，以及三角形的面积公式的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
5、D
【解析】
用三角形的三边表示出，再根据已知的边的关系可得到关于的方程，解方程即得。
【详解】
由题得，，，整理得，化简得，解得.

故选：D
本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，是常考题型。
6、C
【解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
7、A
【解析】
试题分析：连结，异面直线所成角为，

设,在中

考点：异面直线所成角
8、C
【解析】
根据AB=AC，取BC的中点E，连结AE，得到AE⊥BC，再由由AH⊥平面BCD，得到EH⊥BC.，所以∠GEH是二面角的平面角，然后在△GHE中，利用余弦定理求解.
【详解】
:如图所示：

取BC的中点E，连结AE，
∵AB=AC，∴AE⊥BC，且点G在中线AE上，连结HE.
∵AH⊥平面BCD，∴EH⊥BC.∴∠GEH=60°.
在Rt△AHE中，∵∠AEH=60°，AH=
∴EH=AHtan30°=3，
AE=6，GE=AE=2
由余弦定理得HG2=9+4-2×3×2cos60°=7.
∴HG=
故选：C
本题主要考查了二面角问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题.
9、B
【解析】
根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.
【详解】
因为点在第三象限，则，，
所以，
则可知角的终边在第二象限.
故选：B.
本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下：
第一象限：；
第二象限：；
第三象限：；
第四象限：.
10、D
【解析】
根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，若，，则可能平行、相交或异面；故A错；
B选项，若， ，则或，故B错；
C选项，若，，因为为三个不重合平面，所以或，故C错；
D选项，若，，则，故D正确；
故选D
本主要考查命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系，即可得出结果.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①③
【解析】
①中，根据直角三角形、锐角三角形和钝角三角形分类讨论，得出必要一个角在内，即可判定；②中，利用两角和的正切公式，化简得到，根据钝角三角形，即可判定；③中，利用向量的运算，得到，由于不共线，得到，再由余弦定理，即可判定．
【详解】
由题意，对于①中，在中，当，则，
若为直角三角形，则必有一个角在内；若为锐角三角形，则必有一个内角小于等于；若为钝角三角形，也必有一个角小于内，所以总存在某个内角，使得，所以是正确的；
对于②中，在中，由，
可得，
由为钝角三角形，所以，所以，所以不正确；
对于③中，若，即,
即，由于不共线，所以，
即，由余弦定理可得，所以最小角小于，
所以是正确的．
综上可得，命题正确的是①③．
故答案为：①③．
本题以真假命题为载体，考查了正弦、余弦定理的应用，以及向量的运算及应用，其中解答中熟练应用解三角形的知识和向量的运算进行化简是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
12、<
【解析】
直接利用作差比较法解答.
【详解】
由题得，
因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,
所以
所以.
故答案为＜
本题主要考查作差比较法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13、﹣1.
【解析】
根据题意，由函数的奇偶性与对称性分析可得，即函数是周期为的周期函数，据此可得，再由函数的解析式计算即可.
【详解】
根据题意，是定义域为的偶函数，则，
又由得图象关于点对称，则，
所以，即函数是周期为的周期函数，
所以，
又当时，，则，
所以.
故答案为：.
本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.
14、15
【解析】
根据球的半径，先求得球的体积；根据圆与等边三角形关系，设出的边长为，由面积关系表示出圆锥的体积；设拿出铁球后水面高度为，用表示出水的体积，由即可求得液面高度.
【详解】
因为铁球半径为，所以由球的体积公式可得，
设的边长为，则由面积公式与内切圆关系可得，
解得，则圆锥的高为.
则圆锥的体积为，
设拿出铁球后的水面为，且到的距离为，如下图所示：

则由，可得,
所以拿出铁球后水的体积为，
由，可知，
解得，即将铁球取出后容器中水的深度为15.
故答案为：15.
本题考查了圆锥内切球性质的应用，球的体积公式及圆锥体积公式的求法，属于中档题.
15、
【解析】
∵是三角形的内角，且，
∴
故答案为
点睛：本题是一道易错题，在上，，分两种情况：若，则；若，则有两种情况锐角或钝角.
16、3
【解析】
可通过限定条件作出对应的平面区域图，再根据目标函数特点进行求值
【详解】
可行域如图所示;

则可化为,由图象可知,当过点时，有最大值，则其最大值为:
故答案为:3.
线性规划问题关键是能正确画出可行域，目标函数可由几何意义确定具体含义（最值或斜率）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）分别求出，，，再代入公式求余弦值；
（2）由向量互相垂直，得到数量积为0，从而构造出关于的方程，再求的值.
【详解】
(1) ，，，
∴.
(2) ．

若，
则，
解得.
本题考查向量数量积公式的应用及两向量垂直求参数的值，考查基本的运算求解能力.
18、（1）在A公司第年收入为；在B公司连续工作年收入为；（2）应选择A公司，理由见详解；（3）827；理由见详解.
【解析】
（1）先分别记该人在A公司第年收入为，在B公司连续工作年收入为，
根据题中条件，即可直接得出结果；
（2）根据等差数列与等比数列的求和公式，分别计算前的和，即可得出结果；
（3）先令，将原问题转化为求的最大值，
进而可求出结果.
【详解】
（1）记该人在A公司第年收入为，在B公司连续工作年收入为，
由题意可得：，，
，；
（2）由（1），当时，
该人在A公司工资收入的总量为：
（元）；
该人在B公司工资收入的总量为：
（元）
显然A公司工资总量高，所以应选择A公司；
（3）令，
则原问题即等价于求的最大值；
当时，

，
若，则，即，解得；
又，所以，
因此，当时，；当时，.
所以是数列的最大项，（元），
即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多元.
本题主要考查数列的应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）利用三角形面积公式得出和的表达式，由，化简得出的值；
（2）由结合，得出，在中，利用余弦定理得出，再由余弦定理得出，进而得出，由直角三角形的边角关系得出，最后由得出的长.
【详解】
（1）因为，，且，
所以
即，所以.
（2）由（1）知，所以
在中，，，
由余弦定理
所以.
且
所以，解得.
所以.即边BC的长为.
本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）10
【解析】
解：（I）依题意得，即．
当n≥2时，;
当
所以．
（II）由（I）得，
故=．
因此，使得<成立的m必须满足，
故满足要求的最小正整数m为10.
21、（1）或；（2）平行
【解析】
（1）设出圆的圆心为，半径为，可得圆的标准方程，根据题意可得，解出即可得出圆的方程，讨论过点P的直线斜率存在与否，再根据点到直线的距离公式即可求解.
（2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，分类讨论两直线的斜率存在与否，当斜率均存在时，则直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，分别与圆C联立可得，利用斜率的计算公式与作比较即可.
【详解】
（1）根据题意，不妨设圆C的圆心为，半径为，
则圆C，
由圆C经过点，且与直线相切，
则，解得，
故圆C的方程为：，所以点在圆上，
过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线，
当直线的斜率不存在时，直线为： ，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
直线方程为：，故，
解得，故直线方程为：.
综上所述：所求直线的方程：或.
（2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，且直线PA，PB的斜率均存在，
设两直线的倾斜角为和，
，，因为，
由正切的性质，则，
不妨设直线的斜率为，则PB的斜率为，
即：，则：，
由，得，
点的横坐标为一定是该方程的解，故可得，
同理，，
，
,
直线AB与OP平行.
本题考查了圆的标准方程，已知弦长求直线方程，考查了直线与圆的位置关系以及学生的计算能力，属于中档题.