宁夏省银川市2025届数学高一下期末监测模拟试题含解析.doc

宁夏省银川市2025届数学高一下期末监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一位妈妈记录了孩子6至9岁的身高（单位：cm），所得数据如下表：
年龄（岁）
6
7
8
9
身高（cm）
118
126
136
144
由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为，预测该孩子10岁时的身高为
A．154 B．153 C．152 D．151
2．等比数列的前n项和为，若，则等于(　　)
A．－3 B．5 C．33 D．－31
3．下列函数中周期为，且图象关于直线对称的函数是( )
A． B．
C． D．
4．以下有四个说法：
①若、为互斥事件，则；
②在中，，则；
③和的最大公约数是；
④周长为的扇形，其面积的最大值为；
其中说法正确的个数是（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集是( )
A． B． C． D．
6．已知向量若与平行，则实数的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
7．过点斜率为－3的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝，＝(cosA，sinA)，若与夹角为，则acosB＋bcosA＝csinC，则角B等于(　　)
A． B． C． D．
9．在ΔABC中,若 ,则=（ ）
A．6 B．4 C．-6 D．-4
10．已知函数相邻两个零点之间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，所得的函数图象关于轴对称，则的一个值可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列的通项公式为，是其前项和，则_____．（结果用数字作答）
12．已知cosθ，θ∈（π，2π），则sinθ＝_____，tan_____.
13．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为_____．

14．某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:
x

0
1
2
y
5

2
2
1
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:； 但现在丢失了一个数据，该数据应为____________.
15．在轴上有一点，点到点与点的距离相等，则点坐标为____________.
16．已知向量，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋ cos2ωx－
(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .
（Ⅰ）求f(x)的表达式；
（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.
18．如图，正三棱柱的各棱长均为，为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．

19．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形狐上的动点，点分别在半径上，且是平行四边形，记，四边形的面积为，问当取何值时，最大？的最大值是多少？

20．已知等比数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.
（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.
21．已知数列，，，且.
(1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项；
(2)若，并且数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正整数的最小值.(注:当时，则)
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：根据题意，由表格可知，身高y与年龄x之间的线性回归直线方程为，那么可知回归方程必定过样本中心点，即为（7,131）代入可知，=65，预测该学生10岁时的身高，将x=10代入方程中，即可知为153，故可知答案为B
考点：线性回归直线方程
点评：主要是考查了线性回归直线方程的回归系数的运用，属于基础题．
2、C
【解析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出.
【详解】
设等比数列的公比为（公比显然不为1），则，得，
因此，，故选C.
本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：
（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；
（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
3、B
【解析】
因为，所以选项A,B,C,D的周期依次为又当时，选项A,B,C,D的值依次为所以只有选项A,B关于直线对称，因此选B.
考点：三角函数性质
4、C
【解析】
设、为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在上的单调性可判断出命题②的正误；列出和各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为，再利用基本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.
【详解】
对于命题①，若、为对立事件，则、互斥，则，命题①错误；
对于命题②，由大边对大角定理知，，且，函数在上单调递减，所以，，命题②正确；
对于命题③，的约数有、、、、、，的约数有、、、、、、、，则和的最大公约数是，命题③正确；
对于命题④，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，
扇形的面积为，由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为，命题④错误.故选C.
本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的基本概念来理解，考查推理能力，属于中等题.
5、A
【解析】
分解因式，即可求得.
【详解】
进行分解因式可得：
，
故不等式解集为：
故选：A.
本题考查一元二次不等式的求解，属基础知识题.
6、D
【解析】
因为，所以由于与平行，得，解得.
7、A
【解析】
由点和斜率求出点斜式方程，化为一般式方程即可．
【详解】
解：过点斜率为的直线方程为，
化为一般式方程为；
故选：．
本题考查了由点以及斜率求点斜式方程的问题，属于基础题．
8、B
【解析】
根据向量夹角求得角 的度数，再利用正弦定理求得 即得解.
【详解】
由已知得：
所以 所以
由正弦定理得：
所以
又因为
所以 因为
所以
所以
故选B.
本题考查向量的数量积和正弦定理，属于中档题.
9、C
【解析】
向量的点乘，
【详解】
,选C.
向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC的补角
10、D
【解析】
先求周期，从而求得，再由图象变换求得．
【详解】
函数相邻两个零点之间的距离为，则周期为，∴，
，图象向右平移个单位得，
此函数图象关于轴对称，即为偶函数，∴，，．
时，．
故选D．
本题考查函数的图象与性质．考查图象平衡变换．在由图象确定函数解析式时，可由最大值和最小值确定，由“五点法”确定周期，从而确定，再由特殊值确定．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
由题意知，数列的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出的值.
【详解】
由题意可得，故答案为.
本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.
12、 ﹣2.
【解析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得式子的值.
【详解】
由，，知，则，
.
故答案为：，.
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.
13、
【解析】
由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】
根据图形，
因为都是直角三角形，
,
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.
14、4
【解析】
根据回归直线经过数据的中心点可求.
【详解】
设丢失的数据为，则，，
把代入回归方程可得，
故答案为：4.
本题主要考查回归直线的特征，明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
15、
【解析】
设点的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解.
【详解】
由题：设，点到点与点的距离相等，
所以，
，，
解得：，
所以点的坐标为.
故答案为：
此题考查空间之间坐标系中两点的距离公式，根据公式列方程求解点的坐标，关键在于准确辨析正确计算.
16、
【解析】
根据向量夹角公式可求出结果.
【详解】
．
本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）f(x)＝sin.（2）
【解析】
　试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出 的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.
试题解析：
(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到y＝sin的图象．
所以g(x)＝sin.
由，
得
所以所求的单调减区间为
18、
【解析】
作交于，则为异面直线与所成角，在中求出各边的长度，根据余弦定理，得到的余弦值，即为答案.
【详解】
作交于，则为异面直线与所成角，
因为为中点，
所以是的一条中位线，
所以,
因为正三棱柱，
所以面，
而面，
所以
所以在中，,则，
在中，,则，
在中，
由余弦定理得
.
故答案为

本题考查求异面直线所成的角的余弦值，余弦定理，属于简单题.
19、当时，最大，最大值为
【解析】
设，，在中，由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：设，
在中，由余弦定理得：，
由基本不等式，，可得，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时取等号，此时，
∴当时，最大，最大值为．
本题主要考查余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20、（1）当时： ；当时：
（2）（3）
【解析】
（1）直接利用等比数列公式得到答案.
（2）利用错位相减法得到答案.
（3）将不等式转化为，根据双勾函数求数列的最大值得到答案.
【详解】
（1）
当时：
当时：
（2）数列为递增数列，，

两式相加，化简得到

（3）

设
原式 （为奇数）
根据双勾函数知：或时有最大值.
时，原式 时，原式
故
本题考查了等比数列的通项公式，错位相减法求前N项和，恒成立问题，将恒成立问题转化为利用双勾函数求数列的最大值是解题的关键，此题综合性强，计算量大，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
21、 (1)证明见解析， (2)10
【解析】
（1）根据等比数列的定义，结合题中条件，计算，，即可证明数列是等比数列，求出；再根据累加法，即可求出数列的通项；
（2）根据题意，得到，分别求出，当，用放缩法得，根据裂项相消法求，进而可求出结果.
【详解】
(1)证明：，而
∴是以4为首项2为公比的等比数列，，
∴即，，
所以，，......，，
以上各式相加得：；
∴；
(2)由（1）得：，，，
，，
由已知条件知当时，，即
∴
，而综上所述得最小值为10.
本题主要考查证明数列为等比数列，求数列的通项公式，以及数列的应用，熟记等比数列的概念，累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和等即可，属于常考题型.