新疆克拉玛依市北师大克拉玛依附属中学2025届高一数学第二学期期末综合测试试题含解析.doc

新疆克拉玛依市北师大克拉玛依附属中学2025届高一数学第二学期期末综合测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；
③“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；
④“平面α∥平面β”的充分不必要条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”；
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．设 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知基本单位向量，，则的值为（）
A．1 B．5 C．7 D．25
4．直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
5．已知圆的方程为，则圆心坐标为 （ ）
A． B． C． D．
6．曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．三棱锥中，，，，则二面角等于
A． B． C． D．
8．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．内含
9．从一批产品中取出两件产品，事件 “至少有一件是次品”的对立事件是
A．至多有一件是次品 B．两件都是次品
C．只有一件是次品 D．两件都不是次品
10．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．下列关于函数与的命题中正确的结论是______.
①它们互为反函数；②都是增函数；③都是周期函数；④都是奇函数.
12．已知等差数列的前n项和为，若，，，则________
13．已知，则与的夹角等于____.
14．设为等差数列，若，则_____．
15．已知等差数列的前项和为，若，则_______．
16．若角的终边经过点，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数．
（1）求证函数在上是单调减函数．
（2）求函数在上的值域．
18．已知数列的前项和为．
（Ⅰ）当时，求数列的通项公式；
（Ⅱ）当时，令，求数列的前项和．
19．已知从甲地到乙地的公路里程约为240（单位：km）.某汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度x（单位：）（）的关系近似符合以下两种函数模型中的一种（假定速度大小恒定）：①，②，经多次检验得到以下一组数据：
x
0
40
60
120
Q
0

20
（1）你认为哪一个是符合实际的函数模型，请说明理由；
（2）从甲地到乙地，这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少？
20．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.

（1）求的值及函数的值域；
（2）若，且，求的值.
21．关于的不等式，其中为大于0的常数。
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）若不等式的解集为，且中恰好含有三个整数，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
逐项分析见详解.
【详解】
① “a平行于b所在的平面”不能推出 “直线a∥直线b”，如：正方体上底面一条对角线平行于下底面，但上底面的一条对角线却不平行于下底面非对应位置的另一条对角线，故错误；
②“直线l⊥平面α内所有直线”是“l⊥平面α”的定义，故正确；
③“直线a、b不相交”不能推出“直线a、b为异面直线”，这里可能平行；“直线a、b为异面直线”可以推出“直线a、b不相交”，所以是必要不充分条件，故正确；
④“α内存在不共线的三点到β的距离相等”不能推出“平面α∥平面β”，这里包含了平面相交的情况，“平面α∥平面β”能推出“α内存在不共线的三点到β的距离相等”，所以是必要不充分条件，故错误.
故选B.
本题考查空间中平行与垂直关系的判断，难度一般.对可以利用判定定理和性质定理直接分析的问题，可直接判断；若无法直接判断的问题可采用作图法或者排除法判断.
2、D
【解析】
试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵a>b，c>d;∴设a=1，b=-1，c=-2，d=-5,选项A，1-（-2）>-1-（-5），不成立;选项B，1（-2）>（-1）（-5），不成立;取选项C，，不成立,故选D
考点：不等式的性质
点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题
3、B
【解析】
计算出向量的坐标，再利用向量的求模公式计算出的值.
【详解】
由题意可得，因此，，
故选B.
本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.
4、D
【解析】
先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值．
【详解】
圆在点处的切线为，即，
点是圆上的动点，
圆心到直线的距离，
∴点到直线的距离的最小值等于．故选D．
圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题.
5、C
【解析】
试题分析：的方程变形为，圆心为
考点：圆的方程
6、A
【解析】
作出曲线的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.
【详解】
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.
作出曲线的图象如下图所示：

由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，
则直线的倾斜角的取值范围是，故选：A.
本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.
7、C
【解析】
取中点 ,连结 ,由等腰三角形的性质可得，,是二面角的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角的平面角的度数.
【详解】

取中点 ,连结 ,
三棱锥中，，
所以
是二面角的平面角，
，
，
，
，
二面角的平面角的度数为，故选C.
本题主要考查三棱锥的性质、二面角的求法，属于中档题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.
8、B
【解析】
计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系.
【详解】

圆心距

相交
故答案选B
本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.
9、D
【解析】
试题分析：根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n﹣1个，由事件A：“至少有一件次品”，我们易得结果．
解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个
又∵事件A：“至少有一件次品”，
∴事件A的对立事件为：至多有零件次品，
即是两件都不是次品．
故答案为 D．
点评：本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，互斥事件关键是要抓住不可能同时发生的要点，对立事件则要抓住有且只有一个发生，可以转化命题的否定，集合的补集来进行求解．
10、C
【解析】
利用三角函数定义即可求得：，，再利用余弦的二倍角公式得解.
【详解】
因为角的终边过点，所以
点到原点的距离
所以，
所以
故选C
本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、④
【解析】
利用反函数，增减性，周期函数，奇偶性判断即可
【详解】
①，当时，的反函数是，故错误；
②，当时，是增函数，故错误；
③，不是周期函数，故错误；
④，与都是奇函数，故正确
故答案为④
本题考查正弦函数及其反函数的性质，熟记其基本性质是关键，是基础题
12、1
【解析】
由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.
【详解】
根据题意，设等差数列公差为d，
则，
又由，，则，，
则，解可得；
故答案为1．
本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．
13、
【解析】
根据向量的坐标即可求出，根据向量夹角的公式即可求出．
【详解】
∵，，，
，∴，
又，∴．
故答案为：．
考查向量坐标的数量积运算，向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，属于基础题．
14、
【解析】
根据等差数列的性质：在等差数列中若则即可
【详解】

故答案为：
本题主要考查的等差数列的性质：若则，这一性质是常考的知识点，属于基础题。
15、
【解析】
先由题意，得到，求出，再由等差数列的性质，即可得出结果.
【详解】
因为等差数列的前项和为，若，
则，所以，
因此.
故答案为：
本题主要考查等差数列的性质的应用，熟记等差数列的求和公式，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.
16、
【解析】
利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果.
【详解】
由三角函数的定义可得，
由诱导公式可得.
故答案为：.
本题考查利用三角函数的定义和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析 （2）
【解析】
(1)直接用定义法证明函数的单调性.
(2)利用（1）的单调性结论可求函数在上的值域
【详解】
（1）证明：任取，且
则
由，且，则，

所以
所以
所以函数在上是单调减函数．
（2）由（1）可得函数在上单调减函数
所以，即
所以函数在上的值域为：.
本题考查利用定义法证明函数的单调性和结合函数单调性求函数的值域.属于基础题.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用的方法，进行求解即可
（Ⅱ）仍然使用的方法，先求出，然后代入，并化简得，然后利用裂项求和，求出数列的前项和
【详解】
解：（Ⅰ）数列的前项和为①．
当时，，
当时，②，
①﹣②得：，（首相不符合通项），
所以：
（Ⅱ）当时，①，
当时，②，
①﹣②得：，
所以：令，
所以：，
则：
本题考查求数列通项的求法的应用，以及利用裂项求和法进行求和，属于基础题
19、（1）选择模型①，见解析；（2）80.
【解析】
（1）由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，即可判断选择；
（2）将，代入函数型①，可得出的值，进而可得出总耗油量关于速度的函数关系式，进而得解.
【详解】
（1）选择模型①理由：由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，而函数模型②为一个单调递减函数，故选择模型①.
（2）将，代入函数型①，可得：
，则，
总耗油量：，
当时，W有最小值30.甲地到乙地，这辆车以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.
本题考查函数模型的实际应用，考查逻辑思维能力，考查实际应用能力，属于常考题.
20、（2），函数的值域为;（2）.
【解析】
(1)将函数化简整理，根据正三角形的高为，可求出，进而可得其值域；
(2)由得到，再由求出，进而可求出结果.
【详解】
(1)由已知可得，
又正三角形的高为，则，
所以函数的最小正周期，即，得，
函数的值域为．
(2)因为，由(1)得
，
即，
由，得，
即＝，
故

.
本题主要考查三角函数的图象和性质，熟记正弦函数的性质即可求解，属于基础题型.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）关于的不等式的解集为，得出判别式△，且，由此求出的取值范围；
（2）由题意知判别式△，设，利用对称轴以及（1），，
得出不等式的解集中恰好有三个整数，等价于，由此求出的取值范围．
【详解】
（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，
结合，解得.
（2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，解得.
又，所以.
设，其对称轴为.
注意到，，对称轴，
所以不等式解集中恰好有三个整数只能是1、2、3，
此时中恰好含有三个整数等价于：，解得.
本题考查了不等式的解法与应用问题．