2025年吉林省舒兰市第一高级中学校高一数学第二学期期末统考试题含解析.doc

2025年吉林省舒兰市第一高级中学校高一数学第二学期期末统考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，，，则（ ）
A．或 B． C． D．
2．已知向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若，则的面积为( ).
A．8 B．2 C． D．4
4．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为
A． B． C． D．（）
5．若角的终边经过点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在等差数列中，，则等于()
A．2 B．18 C．4 D．9
7．设平面向量，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
9．某中学举行英语演讲比赛，如图是七位评委为某位学生打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数和平均数分别为（ ）

A．84，85 B．85，84 C．84，85.2 D．86，85
10．的三内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.
12．已知，，，，则________.
13．函数的最大值是__________．
14．已知数列，，若该数列是减数列，则实数的取值范围是__________．
15．若则 ____________
16．若过点作圆的切线，则直线的方程为_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的值域.
18．已知，且，向量， .
（1）求函数的解析式，并求当时， 的单调递增区间；
（2）当时， 的最大值为5，求的值；
（3）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
20．对于三个实数、、，若成立，则称、具有“性质”.
（1）试问：①，0是否具有“性质2”；
②（），0是否具有“性质4”；
（2）若存在及，使得成立，且
，1具有“性质2”，求实数的取值范围；
（3）设，，，为2019个互不相同的实数，点（）
均不在函数的图象上，是否存在，且，使得、
具有“性质2018”，请说明理由.
21．为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为、、、、、、.

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和中位数的估计值；
（3）在月平均用电量为的四组用户中，采用分层抽样的方法抽取户居民，则应从月用电量在居民中抽取多少户？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由正弦定理计算即可。
【详解】
由题根据正弦定理可得 即，解得 ，
所以为或，又因为，所以为
故选C.
本题考查正弦定理，属于简单题。
2、C
【解析】
设，根据系数对应关系即可求解
【详解】
设，即，
故选：C
本题考查向量共线的基本运算，属于基础题
3、C
【解析】
由正弦定理结合已知，可以得到的关系，再根据余弦定理结合
，可以求出的值，再利用三角形面积公式求出三角形的面积即可.
【详解】
由正弦定理可知：，而，所以有，由余弦定理可知：，所以，
因此的面积为，故本题选C.
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.
4、C
【解析】
解：

5、B
【解析】
利用三角函数的定义可得的三个三角函数值后可得正确的选项.
【详解】
因为角的终边经过点，故，
所以，故选B.
本题考查三角函数的定义，属于基础题.
6、D
【解析】
利用等差数列性质得到，，计算得到答案.
【详解】
等差数列中，

故选：D
本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.
7、D
【解析】
分析：由向量垂直的条件，求解，再由向量的模的公式和向量的数量积的运算，即可求解结果.
详解：由题意，平面向量，且，
所以，所以，即，
又由，所以，故选D.
点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和向量模的求解，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式和向量模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。
【详解】
设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为
，故选A。
本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。
9、A
【解析】
剩余数据为：84.84,86,84,87，计算中位数和平均数.
【详解】
剩余数据为：84.84,86,84,87
则中位数为：84
平均数为：
故答案为A
本题考查了中位数和平均数的计算，属于基础题型.
10、C
【解析】
将进行整理，反凑余弦定理，即可得到角.
【详解】
因为
即
故可得
又
故.
故选：C.
本题考查余弦定理的变形，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、0
【解析】
将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为，计算得到答案.
【详解】
如图所示：
将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为
或
故答案为0

本题考查了直线和圆相交问题，判断每段弧对应的圆周角为是解题的关键.
12、
【解析】
根据已知角的范围分别求出，，利用整体代换即可求解.
【详解】
，，，所以，
，，，所以，

=
故答案为：
此题考查三角函数给值求值的问题，关键在于弄清角的范围，准确得出三角函数值，对所求的角进行合理变形，用已知角表示未知角.
13、
【解析】
分析：利用两角和正弦公式简化为y=，从而得到函数的最大值.
详解：y=sinx+cosx==．
∴函数的最大值是
故答案为
点睛：本题考查了两角和正弦公式，考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题.
14、
【解析】
本题可以先通过得出的解析式，再得出的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数的取值范围．
【详解】
，

因为该数列是递减数列，
所以
即
因为
所以实数的取值范围是．
本题考察的是递减数列的性质，递减数列的后一项减去前一项的值一定是一个负值．
15、
【解析】
因为,所以=.
故填．
16、或
【解析】
讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率
【详解】
圆即
①当斜率不存在时，为圆的切线
②当斜率存在时，设切线方程为
即
，
解得
此时切线方程为，即
综上所述，则直线的方程为或
本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后讨论斜率存在的情况，利用点到直线距离公式求出结果，较为基础。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由二倍角公式，并结合辅助角公式可得，再利用周期可求出答案；
（2）由的范围，可求得的范围，进而可求出的范围，从而可求得的值域.
【详解】
（1），
∴函数的最小正周期为.
（2）∵，
∴，∴，
∴，∴函数在区间的值域为.
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的周期及值域，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
18、（1） ， 单调增区间为；（2）或；（3）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）化简，解不等式求得的范围即得增区间（2）讨论a的正负，确定最大值，求a；（3）化简绝对值不等式，转化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.
试题解析：
（1）

∵
∴
∴单调增区间为
（2）当时，
若，，∴
若，，∴
∴综上，或.
（3）在上恒成立，
即在上恒成立，
∴
在上最大值2，最小值，
∴
∴的取值范围.
点睛: 本题考查了平面向量的数量积的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性强.
19、（1）；（2）.；（3）.
【解析】
试题分析：（1）对二项式系数进行讨论，可得求出解集即可；（2）分为，，分别解出3种情形对应的不等式即可；（3）将问题转化为对任意的，不等式恒成立，利用分离参数的思想得恒成立，求出其最大值即可.
试题解析：（1）①当即时，，不合题意；
②当即时，
，即，
∴，∴
（2）即
即
①当即时，解集为
②当即时，
∵，∴解集为
③当即时，
∵，所以，所以
∴解集为
（3）不等式的解集为，，
即对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
因为恒成立，所以恒成立，
设则，，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，，
所以
点睛：本题主要考查了含有参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想以及转化与化归的能力，难度一般；对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
20、（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）；（3）存在.
【解析】
（1）①根据题意需要判断的真假即可② 根据题意判断是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出的范围，由存在性问题成立转化为 ，根据函数的性质求最值即可求解.
【详解】
（1）①因为，成立,
所以，故，0具有“性质2”
②因为，设，则
设，
对称轴为，
所以函数在上单调递减，当时，，
所以当时，不恒成立，
即不成立，
故（），0不具有“性质4”.
（2）因为，1具有“性质2”
所以
化简得
解得或 .
因为存在及，使得成立，
所以存在 及使 即可.
令，则，
当时，，
所以在上是增函数，
所以时，，当时，，
故时，
因为在上单调递减，在 上单调递增，
所以，
故只需满足即可，解得.
（3）假设具有“性质2018”，则，
即证明在任意2019个互不相同的实数中，一定存在两个实数,满足：
.
证明：
由，
令，由万能公式知，
将等分成2018个小区间，则这2019个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：，即，
也就是说，在，，，这2019个数中，一定有两个数满足，
即一定存在两个实数，满足，
从而得证.
本题主要考查了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考查了创新能力，属于难题.
21、（1）；（2）众数为度，中位数为度；（3）户.
【解析】
（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；
（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，可得出该城市所有居民月平均用电量的众数，利用中位数左边的矩形面积之和为可求得该城市所有居民月平均用电量的中位数；
（3）计算出月用电量在的用户在月平均用电量为的用户中所占的比例，乘以可得出结果.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）月平均用电量众数的估计值为度，
，
故中位数，所以，，解得，
故月平均用电量中位数的估计值为度；
（3）月均用电量在、、、的用户分别为户、户、户、户，
其中，月均用电量为的用户在月平均用电量为的用户中所占的比例为，
所以在月均用电量为的用户中应抽取（户）.
本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数、众数，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.