2024-2025学年山东省禹城市综合高中数学高一第二学期期末联考试题含解析.doc

2024-2025学年山东省禹城市综合高中数学高一第二学期期末联考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知圆，圆 ，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
2．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )

A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为19
3．函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为线段的中点，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列各角中，与126°角终边相同的角是（　　）
A． B． C． D．
6．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
7．同时掷两枚骰子，则向上的点数相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数,则在上的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，，是外接圆上一动点，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
10．已知球面上有三点，如果，且球心到平面的距离为，则该球的体积为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线与，当时，实数_______；当时，实数_______.
12．已知数列为等差数列，，，若，则________.
13．在等差数列中，，，则公差______.
14．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.
15．已知一个铁球的体积为，则该铁球的表面积为________.
16．已知数列满足，，，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列满足，，其前项和为.
（1）求的通项公式及；
（2）令，求数列的前项和，并求的值.
18．已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.
（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；
（Ⅱ）若,,，求的取值范围.
19．已知，为第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．四棱锥中，，，底面，，直线与底面所成的角为，、分别是、的中点．

（1）求证：直线平面；
（2）若，求证：直线平面；
（3）求棱锥的体积．
21．2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0,5), 第二组[5,10)，第三组[10,15)，第四组[15,20)，第五组[20,25]，绘制了频率分布直方图如下图所示．已知第三组的频数是第五组频数的3倍．

（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；
（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”．经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
，，
，，
，
即两圆外切，故选．
点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．
(2)切线法：根据公切线条数确定．
（3）数形结合法：直接根据图形确定
2、C
【解析】
试题分析：A选项，中位数是84；B选项，众数是出现最多的数，故是83；C选项，平均数是85，正确；D选项，方差是，错误．
考点：茎叶图的识别‚相关量的定义
3、D
【解析】

，
当时，
对于

∵对任意，存在，使得成立， ，解得实数的取值范围是．
故选D．
【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，
4、A
【解析】
由得，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解的最小值，得到答案．
【详解】
设，，，
由得，即，
由题意可知，MN为Rt△AMB斜边上的中线，所以,
则

又由，则，
可得，化简得，
∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆C3，
∵M在圆C3内，∴ MN的最小值即是半径减去M到圆心的距离，
即，故选A．
本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
5、B
【解析】
写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案．
【详解】
解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k∈Z}．
取k=1，可得α=486°．
∴与126°的角终边相同的角是486°．
故选B．
本题考查终边相同角的计算，是基础题．
6、C
【解析】
连接、，可证四边形为平行四边形，得，得（或补角）就是异面直线与所成角，由正方体的性质即可得到答案．
【详解】
连接、，如下图：

在正方体中，且；
四边形为平行四边形，则；
（或补角）就是异面直线与所成角；
又在正方体中，，为等边三角形，
，即异面直线与所成角的大小为；
故答案选C
本题考查正方体中异面直线所成角的大小，属于基础题．
7、D
【解析】
利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】
同时掷两枚骰子共有种情况，其中向上点数相同的有种情况，
其概率为.
故选：D
本题考查了古典概型的概率计算公式，解题的关键是找出基本事件个数，属于基础题.
8、C
【解析】
先令,则可求得的单调区间,再根据,对赋值进而限定范围即可
【详解】
由题,令,
则,
当时,在上单调递增,
则当时,的单调增区间为,
故选:C
本题考查正弦型函数的单调区间,属于基础题
9、C
【解析】
以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为，，
求出点的坐标，得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.
【详解】

以的中点O为原点，以为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的方程为，
设M的坐标为，，
过点作垂直轴，
，
，，
，
，，
，，，
，，，，

，，，，
，，
，，
，其中，，
当时，有最大值，最大值为，
故选C．
本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的
问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．
10、B
【解析】
的外接圆半径为 球半径球的体积为，故选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据两直线垂直和平行的充要条件，得到关于的方程，解方程即可得答案.
【详解】
当时，，解得：；
当时，且，解得：.
故答案为：；.
本题考查两直线垂直和平行的充要条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
12、
【解析】
设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组解出和的值，可求出的表达式，再由可解出的值.
【详解】
设等差数列的公差为，由，得，解得，
，，因此，，故答案为：.
本题考查等差数列的求和，对于等差数列的问题，通常建立关于首项和公差的方程组求解，考查方程思想，属于中等题.
13、3
【解析】
根据等差数列公差性质列式得结果.
【详解】
因为，，所以.
本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.
14、0
【解析】
利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】
根据向量减法的几何意义可得：,
即,
所以
.
故答案为：0
本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.
15、.
【解析】
通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积.
【详解】
球的体积为 球的半径
球的表面积为：
故答案为：
本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力，属于基础题.
16、-2
【解析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
【详解】
根据题干表达式得到

可以得数列具有周期性，周期为3，故得到
故得到
故答案为：-2.
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2），
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式及前n项的和公式可得答案；
（2）利用“裂项求和”法可得答案.
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，
由，得，
又，解得.
所以.
所以.
（2）由，得.
设的前项和为，
则
.
本题主要考查等差数列的通项公式及前n项的和，及数列求和的“裂项相消法”，属于中档题.
18、（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）题意实质上证明线段的中点到轴的距离等于线段长的一半，根据抛物线的定义设可证得；（Ⅱ）同样设，，把已知,用坐标表示出来，消去坐标及，得出与的关系，此时就可得出的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）由已知,设，则，
圆心坐标为，圆心到轴的距离为，
圆的半径为，
所以，以线段为直径的圆与轴相切．
（Ⅱ）解法一：设，由,,得
，，
所以，
，
由，得．
又，，
所以．
代入，得，，
整理得，
代入，得，
所以，
因为，所以的取值范围是．
解法二：设，，
将代入，得，
所以（*），
由，，得
，，
所以，，
，
将代入（*）式，得，
所以，．
代入，得．
因为，所以的取值范围是．
考点：抛物线的定义，抛物线的焦点弦问题．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）根据同角三角函数平方关系即可求得结果；
（2）利用同角三角函数商数关系可求得，代入两角和差正切公式可求得结果.
【详解】
（1）为第二象限角
（2）由（1）知：

本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值符号求解错误.
20、（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
（1）由中位线定理可得，，再根据平行公理可得，，即可根据线面平行的判定定理证出；
（2）根据题意可计算出，而是的中点，可得，又，即可根据线面垂直的判定定理证出；
（3）根据等积法，即可求出．
【详解】
（1）证明：连接，，，、是、中点，
，从而．
又平面，平面，
直线平面；
（2）证明：，，．
底面，直线与底面成角，
．．
是的中点，．
，．
面，面，
直线平面；
（3）由题可知，，
．

本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理的应用，以及利用等积法求三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和转化能力，属于基础题．
21、（1）a=0.06，平均值为12.25小时 （2）
【解析】
（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；
（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，利用列举法能求出从该6人中选拔2人，从而得到这2人来自不同组别的概率．
【详解】
（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为
，
第三组的频率为
∴
该样本数据的平均数

所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为小时．
（2）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，
设为，则从该6人中选拔2人的基本事件有：

共15种，
其中来自不同的组别的基本事件有：
，
共11种，
∴这2人来自不同组别的概率为.
本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．