2025年江苏省无锡市江阴市南菁高中高一数学第二学期期末达标检测试题含解析.doc

2025年江苏省无锡市江阴市南菁高中高一数学第二学期期末达标检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在公比为2的等比数列中，，则等于（ ）
A．4 B．8 C．12 D．24
2．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
3．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：
A．100 B．80 C．60 D．40
4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为
①若，，则
②若，则
③若，则
④若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
6．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．将八进制数化成十进制数，其结果为（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为
A．3 B．1 C． D．
9．从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，则向量与向量垂直的概率为( )
A． B． C． D．
10．函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角的对边分别为. 若，则的值为__________.
12．数列满足，则等于______.
13．已知圆的圆心在直线，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.
14．数列满足，则________.
15．已知数列中，其前项和为，，则_____.
16．若、、这三个的数字可适当排序后成为等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
18．已知是复数，与均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
19．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：
第一种，每天支付元，没有奖金；
第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元；
第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍.
（1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式；
（2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？
20．已知函数．
（1）求（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
21．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由等比数列的性质可得，可求出，则答案可求解.
【详解】
等比数列的公比为2，
由，即，所以舍
所以
故选：D
本题考查等比数列的性质和通项公式的应用，属于基础题.
2、C
【解析】
先由题意求出，再结合基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为是与的等比中项，
所以，故，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，取等号；
故选C
本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
3、A
【解析】
根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．
本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4、A
【解析】
根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确．
【详解】
如图正方体，
平面是平面，平面是平面，但两直线与不垂直，①错；
平面是平面，平面是平面，但两直线与不平行，②错；
直线是直线，直线是直线，满足，但平面与平面不垂直，③错；
由得，∵，过作平面与平面交于直线，则，于是，∴，④正确．
∴只有一个命题正确．
故选A．
本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明．
5、B
【解析】
分析：由公式计算可得
详解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，
则
因为
所以，
故选B.
点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．
6、D
【解析】
由已知中直线和互相平行，求出的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．
【详解】
∵直线和互相平行，则，
将直线的方程化为，
则两条平行直线之间的距离，＝＝＝.
故选：D．
本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．
7、B
【解析】
利用进制数化为十进制数的计算公式，，从而得解．
【详解】
由题意，，故选．
本题主要考查八进制数与十进制数之间的转化，熟练掌握进制数与十进制数之间的转化计算公式是解题的关键．
8、C
【解析】
分析：根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，可得的值．
详解：如图：∵， ，
则

又 三点共线，
故得 ．
故选C.．
点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
9、B
【解析】
通过向量垂直的条件即可判断基本事件的个数，从而求得概率.
【详解】
基本事件总数为，当时，，
满足的基本事件有
，，，共3个，
故所求概率为，
故选B.
本题主要考查古典概型，计算满足条件的基本事件个数是解题的关键，意在考查学生的分析能力.
10、B
【解析】
先求出变换后的函数的解析式，求出所得函数的对称中心坐标，可得出正确选项.
【详解】
函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的解析式为，令，得，
因此，所得函数的图象的一个对称中心是，故选B.
本题考查图象的变换以及三角函数的对称中心，解题的关键就是求出变换后的三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1009
【解析】
利用余弦定理化简所给等式，再利用正弦定理将边化的关系为角的关系，变形化简即可得出目标比值．
【详解】
由得，即，
所以，故．
本题综合考查正余弦定理解三角形，属于中档题．
12、15
【解析】
先由，可求出，然后由，代入已知递推公式即可求解。
【详解】

故答案为15.
本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。
13、或
【解析】
由圆心在直线x﹣3y＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，距离d，由圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
【详解】
设圆心为（3t，t），半径为r＝|3t|，
则圆心到直线y＝x的距离d|t|，
而 （）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，
∴圆心是（3，1）或（-3，-1）
故答案为或．
本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．
14、
【解析】
根据题意可求得和的等式相加，求得，进而推出，判断出数列是以6为周期的数列，进而根据求出答案。
【详解】

将以上两式相加得

数列是以6为周期的数列，故
对于递推式的使用，我们可以尝试让取或，又得一个递推式，将两个递推式相加或者相减来找规律，本题是一道中等难度题目。
15、1
【解析】
本题主要考查了已知数列的通项式求前和，根据题目分奇数项和偶数项直接求即可。
【详解】
，
则
．
故答案为：1．
本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。属于基础题。
16、
【解析】
由，，可知，、、成等比数列，可得出，由、、或、、成等差数列，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可计算出的值.
【详解】
由于，，若不是等比中项，则有或，两个等式左边均为正数，右边均为负数，不合题意，则必为等比中项，所以，
将三个数由大到小依次排列，则有、、成等差数列或、、成等差数列.
①若、、成等差数列，则，联立，解得，
此时，；
②若、、成等差数列，则，联立，解得，
此时，.
综上所述，.
故答案为：.
本题考查等比数列和等差数列定义的应用，根据题意列出方程组是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；
（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.
【详解】
（1），所以，
所以，即
因为，所以，所以，即.
（2）因为，所以.
由余弦定理可得，
因为，所以，解得.
故的面积为.
本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.
18、
【解析】
试题分析：解：设，为实数，．
为实数，
，则．
在第一象限，
解得．
考点：本题主要考查复数相等的充要条件，复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的运算，不等式组解法．
点评：主要运用复数的基础知识，具有一定综合性，中档题．
19、（1），，；（2）第三种，理由见解析.
【解析】
（1）三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，可知数列为常数数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列求和公式可计算出、、关于的表达式；
（2）利用（1）中的结论，计算出、、的值，比较大小后可得出结论.
【详解】
（1）设三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，
它们的前项和分别为、、，
第一种付酬方式每天所付金额组成数列为常数列，且，所以；
第二种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以；
第三种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，当时，，，
，则.
因此，该学生在暑假期间共工作天，选第三种付酬方式较好.
本题考查等差数列和等比数列的应用，涉及等差数列和等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
20、（1）,的增区间是．（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期．（2）利用正弦函数的单调区间，再求的单调性．（3）求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方．
试题解析：（1）因为－1＝－1
，故最小正周期为
得
故的增区间是．
（2）因为，所以．
于是，当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值－1．
考点：（1）求三角函数的周期和单调区间；（2）求三角函数在闭区间的最值．
21、（1）24；（2）8
【解析】
（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】
(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.