2025年吉林省辽源市东辽县第一高级中学校数学高一下期末检测模拟试题含解析.doc

2025年吉林省辽源市东辽县第一高级中学校数学高一下期末检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知公式为正数的等比数列满足：，，则前5项和( )
A．31 B．21 C．15 D．11
2．已知，若、、三点共线，则为（ ）
A． B． C． D．2
3．已知数列的前项和为，若，对任意的正整数均成立，则（ ）
A．162 B．54 C．32 D．16
4．设函数，则是( )
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
5．已知向量，满足，，且在方向上的投影是－1，则实数（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
6．已知，下列不等式中必成立的一个是( )
A． B． C． D．
7．在等差数列中，若，则( )
A．45 B．75 C．180 D．320
8．若，则向量的坐标是（ ）
A．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）
9．下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的，，依次输入的为2,2,5，则输出的（ ）

A．10 B．12 C．60 D．65
10．两圆和的位置关系是（）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．三棱锥的各顶点都在球的球面上，，平面，，，球的表面积为，则的表面积为_______．
12．方程在区间内解的个数是________
13．在平面直角坐标系xOy中，若直线与直线平行，则实数a的值为______.
14．利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_____项．
15．已知是以为首项，为公差的等差数列，是其前项和，则数列的最小项为第___项
16．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为___________。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，内角对边分别为，，,已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
18．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．
（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；
（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；
（3）已知，，试计算．
19．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，且，求的值.
20．已知，，
（1）求的解析式，并求出的最大值；
（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值时的值.
21．已知等差数列的前n项和为，关于x的不等式的解集为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由条件求出数列的公比．再利用等比数列的前项求和公式即可得出．
【详解】
公比为正数的等比数列满足：，
则，即.
所以,所以.
故选：A
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2、C
【解析】
由平面向量中的三点共线问题可得：，由基本定理及线性运算可得：即得解.
【详解】
因为，若，，三点共线
则，解得，
即
即
即
即
故选：
本题考查平面向量基本定理和共线定理，属于基础题.
3、B
【解析】
由，得到数列表示公比为3的等比数列，求得，进而利用，即可求解.
【详解】
由，可得，所以数列表示公比为3的等比数列，
又由，，得，解得，
所以，
所以
故选B.
本题主要考查了等比数列的定义，以及数列中与之间的关系，其中解答中熟记等比数列的定义和与之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4、D
【解析】
函数，化简可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D．
5、A
【解析】
由投影的定义计算．
【详解】
由题意，解得．
故选：A．
本题考查向量数量积的几何意义，掌握向量投影的定义是解题关键．
6、B
【解析】
根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，由于，不等号方向不相同，不能相加，故A选项错误.
对于B选项，由于，所以，而，根据不等式的性质有：，故B选项正确.
对于C选项，，而两个数的正负无法确定，故无法判断的大小关系，故C选项错误.
对于D选项，，而两个数的正负无法确定，故无法判断的大小关系，故D选项错误.
故选：B.
本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，属于基础题.
7、C
【解析】
试题分析：因为数列为等差数列，且，所以，，从而，所以，而，所以，故选C.
考点：等差数列的性质.
8、D
【解析】
直接利用向量的坐标运算法则化简求解即可．
【详解】
解：向量（3，2），（0，﹣1），
则向量22（0，﹣1）﹣（3，2）＝（﹣3，﹣4）．
故选D．
本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．
9、D
【解析】
，，判断否，，，判断否，，，判断是，输出.故选.
10、B
【解析】
由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系.
【详解】
由圆的方程可知，两圆圆心分别为：和；半径分别为：，
则圆心距：
两圆位置关系为：相交
本题正确选项：
本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据题意可证得，而，所以球心为的中点．由球的表面积为，即可求出，继而得出的值，求出三棱锥的表面积．
【详解】
如图所示：
∵，平面，∴，又，故球心为的中点．
∵球的表面积为，∴，即有．
∴，．
∴，，
，．
故的表面积为．
故答案为：．
本题主要考查三棱锥的表面积的求法，球的表面积公式的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．
12、4.
【解析】
分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.
详解：，所以或，
因为，所以或或或，
故解的个数是4.
点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.
13、1
【解析】
由，解得，经过验证即可得出．
【详解】
由，解得．
经过验证可得：满足直线与直线平行，
则实数．
故答案为：1．
本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
14、.
【解析】
分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.
【详解】
当时，左边，
当时，左边，
观察可知，增加的项数是，
故答案是.
该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.
15、
【解析】
先求，利用二次函数性质求最值即可
【详解】
由题
当时最小
故答案为8
本题考查等差数列的求和公式，考查二次函数求最值，是基础题
16、3；
【解析】
由三视图还原几何体，根据垂直关系和勾股定理可求得各棱长，从而得到最长棱的长度.
【详解】
由三视图可得几何体如下图所示：

其中平面，，，
，，，
四棱锥最长棱为
本题正确结果：
本题考查由三视图还原几何体的相关问题，关键是能够准确还原几何体中的长度和垂直关系，从而确定最长棱.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)2 (2)
【解析】
（1）在题干等式中利用边化角思想，结合两角和的正弦公式、内角和定理以及诱导公式计算出，再利用角化边的思想可得出的比值；
（2）由（1）中的结果，结合余弦定理求出和的值，再利用同角三角函数的平方关系求出，最后利用三角形的面积公式求出的面积．
【详解】
（1）由正弦定理得 ，
则 ，
所以 ，
即，
化简可得．
又，
所以．
所以，即.
（2）由（1）知．
由余弦定理及，，
得，．解得，因此
因为，且所以
因此．
在解三角形的问题时，要根据已知元素的类型合理选择正弦定理与余弦定理解三角形，除此之外，在有边和角的等式中，优先边化角，利用三角恒等变换思想化简求解，能起到简化计算的作用．
18、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）根据不等式可得，把代入即可解出
（2）根据化简，利用为有理数即可解决
（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．
【详解】
（1）∵，∴，即，
∴，
∵，∴，∴．
（2）∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，以上每一步可逆．
（3），∴．
∵，∴，
当时，∴
当时，∴，∴为有理数列，
∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，
∴
当时，∴
当时，∴，
∴．
本题数列的分类问题，数列通项式的求法、有关数列的综合问题等．本题难度、计算量较大，属于难题．
19、 (1) 最小正周期是 (2)
【解析】
（1）运用辅助角公式化简得；
（2）先计算的值为，构造，求出的值.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以函数的最小正周期是.
（2）因为 ，所以，
因为，所以，
所以，则

利用角的配凑法，即进行角的整体代入求值，考查整体思想的运用.
20、（1），最大值为.（2）时，最小值0.时，最大值.
【解析】
（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简，再利用三角函数的有界性，即可得答案；
（2）利用整体法求出，再利用三角函数线，即可得答案.
【详解】
（1）
∴，
的最大值为.
（2）由（1）得，
∵，.
，
当时，即时，取最小值0.
当，即时，取最大值.
本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据不等式的解集，得到和，从而得到等差数列的公差，得到的通项公式；
（2）由（1）得到的的通项，得到的通项，利用等比数列的求和公式，得到答案.
【详解】
（1）因为关于x的不等式的解集为，
所以得到，，
所以，，
为等差数列，设其公差为，
所以，所以，
所以
（2）因为，所以
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
本题考查一元二次不等式解集与系数的关系，求等差数列的通项，等比数列求和，属于简单题.