云南省昭通市大关县民族中学2024-2025学年高一下数学期末联考模拟试题含解析.doc

云南省昭通市大关县民族中学2024-2025学年高一下数学期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线，，则与之间的距离为（ ）
A． B． C．7 D．
2．已知a,b是正实数,且,则的最小值为( )
A． B． C． D．
3．下列结论：
①；
②；
③，；
④，，
其中正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在正方体中为底面的中心，为的中点， 则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
6．已知之间的一组数据如下：

1
3
4
7
8
10
16

5
7
8
10
13
15
19
则线性回归方程所表示的直线必经过点
A．（8，10） B．（8，11） C．（7，10） D．（7，11）
7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
8．平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O点逆时针旋转后与单位园交于点B，则B的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°.则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则的最大值是____．
12．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是________ .
13．定义运算，如果，并且不等式对任意实数x恒成立，则实数m的范围是______.
14．设等比数列的前项和为，若，,则的值为______．
15．已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.
16．已知圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．研究正弦函数的性质
（1）写出其单调增区间的表达式
（2）利用五点法，画出的大致图像
（3）用反证法证明的最小正周期是
18．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？
（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？
19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，.
（1）若，求△ABC的周长；
（2）若CD为AB边上的中线，且，求△ABC的面积.
20．已知锐角三个内角、、的对边分别是，且．
（1）求A的大小；
（2）若，求的面积．
21．三个内角A,B,C对应的三条边长分别是，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，，求．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
化简的方程，再根据两平行直线的距离公式，求得两条平行直线间的距离.
【详解】
，由于平行，故有两条平行直线间的距离公式得距离为， 故选D.
本小题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.
2、B
【解析】
设，则，逐步等价变形，直到可以用基本不等式求最值，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，设，则，所以

.
故选：B
本题主要考查利用基本不等式求最值，化简变形是关键，考查计算能力，属于中等题.
3、A
【解析】
根据不等式性质，结合特殊值法即可判断各选项.
【详解】
对于①，若，满足，但不成立，所以A错误；
对于②，若，满足，但不成立，所以B错误；
对于③，，而，由不等式性质可得，所以③正确；
对于④，若满足，但不成立，所以④错误；
综上可知，正确的为③，有1个正确；
故选：A.
本题考查了不等式性质应用，根据不等式关系比较大小，属于基础题.
4、B
【解析】
取BC中点为M，连接OM，EM找出异面直线夹角为，在三角形中利用边角关系得到答案.
【详解】
取BC中点为M，连接OM，EM
在正方体中为底面的中心，为的中点
易知：
异面直线与所成角为
设正方体边长为2，在中：

故答案选B
本题考查了立体几何里异面直线的夹角，通过平行找到对应的角是解题的关键.
5、B
【解析】
x，y，z为正实数，且，
根据基本不等式得，
当且仅当x=2y取等号，所以x=2y时，取得最大值1,
此时，
,
当时,取最大值1，
的最大值为1,
故选B.
6、D
【解析】
先计算的平均值，得到数据中心点，得到答案
【详解】
，
线性回归方程所表示的直线经必经过点，即（7，11）.
故答案选D
本题考查了回归方程，回归方程一定过数据中心点.
7、B
【解析】
利用的图象变换规律，即可求解，得出结论．
【详解】
由题意，函数，，
又由，
故把函数的图象上所有的点，向右平移个单位长度，
可得的图象，
故选：B．
本题主要考查了三角函数 的图象变换规律，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8、B
【解析】
，B的横坐标为，计算得到答案.
【详解】
有题意知：
B的横坐标为：
故答案选B
本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.
9、D
【解析】
计算可知三棱锥P－ABC的三条侧棱互相垂直，可得球O是以PA为棱的正方体的外接球，球的直径，即可求出球O的体积.
【详解】
在△PAC中，设，，，，
因为点E，F分别是PA，AB的中点，所以，
在△PAC中，，
在△EAC中，，
整理得，
因为△ABC是边长为的正三角形，所以，
又因为∠CEF=90°，所以，
所以，
所以.
又因为△ABC是边长为的正三角形，
所以PA,PB,PC两两垂直，
则球O是以PA为棱的正方体的外接球，
则球的直径，
所以外接球O的体积为.
故选D.

本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
10、A
【解析】
根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程.
【详解】
由题意可知AB中点坐标是，
，
因为A，B关于直线l对称，
所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即，
故选：A.
本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为求解，属于简单题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】
利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．
【详解】
，，，则

．当且仅当时，函数取得最大值．
本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值．
12、
【解析】
过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，设正四棱锥的底面长为，根据已知求出a=2,SO=1,再求该正四棱锥的体积.
【详解】

过棱锥顶点作,平面，
则为的中点，为正方形的中心，连结，
则为侧面与底面所成角的平面角，即，设正四棱锥的底面长为，则，所以，
在中，∵
∴，解得，
∴
∴棱锥的体积.
故答案为
本题主要考查空间线面角的计算，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
13、
【解析】
先由题意得到，根据题意求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
由题意得到，
其中，
因为，所以，
又不等式对任意实数x恒成立，
所以.
故答案
本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.
14、16
【解析】
利用及可计算，从而可计算的值.
【详解】
因为，故，
因为，故，故，
故填16.
等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
15、
【解析】
先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.
【详解】
三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于
为中点，为外心，连接，

平面
球心在上
设半径为
故答案为

本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
16、
【解析】
根据题意得，解得，求得圆锥的高，利用体积公式，即可求解．
【详解】
设圆锥底面的半径为，根据题意得，解得，
所以圆锥的高，
所以圆锥的体积.
本题主要考查了圆锥的体积的计算，以及圆锥的侧面展开图的应用，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，求得圆锥的底面圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解；
（2）利用五点法作函数的图象即可；
（3）先证明，再假设存在，使得，令，可得，令，可得，得到矛盾，即可得证.
【详解】
（1）单调递增区间为，
所以单调递增区间的表达式为
（2）列表：

描点，连线，可得函数图象如下：

（3）证明：，
假设存在，使得，即，
令，则，即；
再令，可得，得到矛盾，
综上可知的最小正周期是.
本题主要考查了正弦函数的单调性，五点法作函数的图象，考查了反证法的应用，属于中档题.
18、（4）服用A药睡眠时间平均增加4.4；服用B药睡眠时间平均增加4.6；从计算结果来看，服用A药的效果更好；
（4）
A药

B药

6

4．

8 9 5 6 5

4 5 8 4 5

4．

7 9 4 4 4 6 8 4 4

7 8 4 4 5 6 7 9 4 4

4．

4 6 4 5 7

4 5 4 4

4．

4

从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二段，故A药的药效好.
【解析】
(4)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得：＝×(4.6＋4.4＋4.4＋4.5＋4.5＋4.8＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5)＝4.4，
＝×(4.5＋4.5＋4.6＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.6＋4.7＋4.8
＋4.9＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.4)＝4.6.
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
(4)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎4,4上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎4,4上，由此可看出A药的疗效更好．
考点：茎叶图、平均数.
19、（1）
（2）
【解析】
（1）由正弦定理可得，再结合余弦定理可得，再求边长即可得解；
（2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
即，
即，
即，即,
又，则，则，
又，则，
即，
即△ABC的周长为；
（2）因为，，
在中，由余弦定理可得： ，
则，即，
即,
所以.
本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）根据正弦定理把边化为对角的正弦求解；（2）根据余弦定理和已知求出，再根据面积公式求解.
【详解】
解：（1）由正弦定理得
∵，
∴，
又∵
∴
（2）由余弦定理
得所以
即
∴
∴的面积为
本题考查解三角形.常用方法有正弦定理，余弦定理，三角形面积公式；注意增根的排除.
21、⑴ (2)
【解析】
⑴由正弦定理及，得，因为，所以；
⑵由余弦定理，解得
【详解】
⑴由正弦定理
得，
由已知得，，
因为，所以
⑵由余弦定理，
得
即，解得或，负值舍去，
所以
解三角形问题，常要求正确选择正弦定理或余弦定理对三角形中的边、角进行转换，再进行求解，同时注意三角形当中的边角关系，如内角和为180度等