2025届广东省江门一中高一下数学期末联考模拟试题含解析.doc

2025届广东省江门一中高一下数学期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “是与的等差中项”是“是与的等比中项”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为4和2，则输出的值为（ ）

A．32 B．64 C．65 D．130
3．已知是球O的球面上四点，面ABC,，则该球的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数则（ ）
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为1，1，则输出的是（）

A．29 B．17 C．12 D．5
6．长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
7．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
8．如图，长方体的体积为，E为棱上的点,且，三棱锥E－BCD的体积为，则=（ ）

A． B． C． D．
9．已知，则值为
A． B． C． D．
10．设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=
A． B．2 C． D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．直线的倾斜角为________.
12．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
13．已知等比数列、、、满足，，，则的取值范围为__________．
14．已知两点A（2，1）、B（1，1+）满足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），则α+β＝_______________
15．设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}．若，，则q＝______________．
16．一个圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍，如图，在学校的东北力有一块地，其中两面是不能动的围墙，在边界内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？

18．已知函数，若，且，，求满足条件的，.
19．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知数列满足.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；
（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
20．已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．
21．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.

（1）求函数的表达式及定义域；
（2）求的最大值及此时的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
若是与的等差中项，
则，
若是与的等比中项，
则，
则“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的充分不必要条件，
故选：A.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出的值是解决本题的关键．
2、C
【解析】
程序运行循环时变量值为：；；；，退出循环，输出，故选C．
3、D
【解析】
根据面，，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，长方体的对角线的长就是该球的直径，从而得到答案。
【详解】
面，
三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，
可以以三条侧棱，，为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，

长方体的对角线的长就是该球的直径，
即
则该球的半径为
故答案选D
本题考查三棱锥外接球的半径的求法，本题解题的关键是以三条侧棱为棱长得到一个长方体，三棱锥的外接球，即为该长方体的外接球，利用长方体外接球的直径为长对角线的长，属于基础题。
4、B
【解析】
首先根据题意得到，再计算即可.
【详解】
……，
.
故选：B
本题主要考查分段函数值的求法，同时考查了指数幂的运算，属于简单题.
5、B
【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】

结束，输出
故答案选B
本题考查了程序框图的计算，属于常考题型.
6、A
【解析】
由题，找出，故(或其补角)为异面直线与所成角，然后解出答案即可.
【详解】
如图，连接，由，(或其补角)为异面直线与所成角，
由已知可得，则．．即异面直线与所成角的余弦值为．
故选A．

本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.
7、B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
8、D
【解析】
分别求出长方体和三棱锥E－BCD的体积，即可求出答案.
【详解】
由题意，，
，
则.
故选D.
本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
利用三角函数的诱导公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
故选B.
本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、A
【解析】
解：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比，（Sn≠0）
所以，选A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】
因为，
所以，设直线的倾斜角为，
则，，故答案为.
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
12、1．
【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】
由题意，高三学生占的比例为，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为.
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
13、
【解析】
设等比数列、、、的公比为，由和计算出的取值范围，再由可得出的取值范围.
【详解】
设等比数列、、、的公比为，
，，，所以，，，.
所以，，故答案为：.
本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.
14、或0
【解析】
运用向量的加减运算和特殊角的三角函数值，可得所求和．
【详解】
两点A（2，1）、B（1，1）满足（sinα，cosβ），
可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），
即为sinα，cosβ，
α，β∈（），可得α，β＝±，
则α+β＝0或．
故答案为0或．
本题考查向量的加减运算和三角方程的解法，考查运能力，属于基础题．
15、
【解析】
将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．
即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)
16、
【解析】
设圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入圆锥的体积公式求解．
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积为，底面积为，
则，解得，，∴高＝＝＝，
∴＝＝．
故答案为：．
本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的侧面积、底面积、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、在线段上取点，过点分别作墙的平行线，建一个长、宽都为17米的正方形，教学楼的面积最大
【解析】
可建立如图所示的平面直角坐标系，根据截距式写出AB所在直线方程，
然后可设G点的坐标为，再根据题目中的要求可列出教学楼的面积的表达式
, ,然后利用一元二次函数求最值即可．
【详解】
解：如图建立坐标系，

可知所在直线方程为，即.
设，由可知．
∴
.
由此可知，当时，有最大值289平方米．
故在线段上取点，过点分别作墙的平行线，建一个长、宽都为17米的正方形，教学楼的面积最大．
本题考查一元二次函数求最值解决实际问题，属于中档题
18、，
【解析】
利用三角恒等变换，化简的解析式，从而得出结论．
【详解】
解：

，
∴，
待定系数，可得，又，
∴，
∴，.
本题主要考查三角恒等变换，属于基础题．
19、（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.
【解析】
（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．
（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．
【详解】
（1）依题意：，
∴；又
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）由已知得，，，
∴，
当q＝1时，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．
当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴
不等式
∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，
而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，
得q2﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当时，
，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴此不等式即，
3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0
∴时，不等式恒成立，
∴q的取值范围为：．
（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1＝1，
得
即
当n＝1时，d≤2；
当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d，
所以d，
所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…ak的公差为．
本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．
20、 (1)，;(2).
【解析】
分析：（1）利用的关系，求解；倒序相加求。
（2）先用错位相减求，分离参数，使得对于一切的恒成立，转化为求的最值。
详解：（1）

时满足上式，故
∵=1∴
∵ 　　　 ①
∴ 　　　②
∴①+②，得.
（2）∵，∴
∴ 　　　 ①
， ②
①－②得
即
要使得不等式恒成立，
恒成立对于一切的恒成立，
即 ，令，则

当且仅当时等号成立，故 所以为所求.
点睛：1、，一定要注意，当时要验证是否满足数列。
2、等比乘等差结构的数列用错位相减。
3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致。
21、（1）（2）当时，取最大值.
【解析】
（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可；
（2）令，则，，再求最值即可.
【详解】
解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N，
由已知可知，
在中，.，，
梯形ABCD的高，
则.
（2）设，则，，
则 ，，
则.
，当时，，
此时，即，
，，，故.
故的最大值为，此时.

本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题