2025届江西省景德镇市第一中学数学高一第二学期期末考试试题含解析.doc

2025届江西省景德镇市第一中学数学高一第二学期期末考试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．棱柱的侧面一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
2．如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是( )

A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4
3．若且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．设满足约束条件则的最大值为（ ）.
A．10 B．8 C．3 D．2
5．的值为
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为线段的中点，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．设为直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）

A．2800 B．3000 C．3200 D．3400
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在等比数列中，若，则等于__________．
12．已知数列中，其中，，那么________
13．已知正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为______.
14．涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取个样本时，先将个同学按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读（注：如表为随机数表的第行和第行），则选出的第个个体是______.

15．在数列中，已知，，记为数列的前项和，则_________.
16．若是等差数列，首项，，，则使前项和最大的自然数是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，三棱柱中，，D为AB上一点，且平面.

（1）求证：；
（2）若四边形是矩形，且平面平面ABC，直线与平面ABC所成角的正切值等于2，，，求三楼柱的体积.
18．已知的三个顶点为.
（1）求过点且平行于的直线方程；
（2）求过点且与、距离相等的直线方程.
19．已知函数当时,求函数的最小值.
20．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为和，可能的最大亏损率分别为和.投资人计划投资金额不超过亿元，要求确保可能的资金亏损不超过亿元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？
21．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：
（1）计算：,,；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据棱柱的性质可得：其侧面一定是平行四边形，故选A.
2、B
【解析】
去掉最低分分，最高分分，利用平均数的计算公式求得，利用方差公式求得.
【详解】
去掉最低分分，最高分分，得到数据，
该组数据的平均数，
.
本题考查从茎叶图中提取信息，并对数据进行加工和处理，考查基本的运算求解和读图的能力.
3、D
【解析】
利用作差法对每一个选项逐一判断分析.
【详解】
选项A, 所以a≥b,所以该选项错误；
选项B, ，符合不能确定，所以该选项错误；
选项C, ，符合不能确定，所以该选项错误；
选项D, ，所以，所以该选项正确.
故选D
本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4、B
【解析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.
【详解】
作出可行域如图：

化目标函数为，
联立，解得.
由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，有最大值.
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
5、B
【解析】
试题分析：由诱导公式得，故选B．
考点：诱导公式．
6、A
【解析】
由得，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解的最小值，得到答案．
【详解】
设，，，
由得，即，
由题意可知，MN为Rt△AMB斜边上的中线，所以,
则

又由，则，
可得，化简得，
∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆C3，
∵M在圆C3内，∴ MN的最小值即是半径减去M到圆心的距离，
即，故选A．
本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
7、D
【解析】
根据不等式的性质,一一分析选择正误即可.
【详解】
根据不等式的性质,当时,
对于A,若,则,故A错误;
对于B,若,则,故B错误;
对于C,若,则,故C错误;
对于D, 当时,总有成立,故D正确;
故选:D.
本题考查不等式的基本性质,属于基础题.
8、C
【解析】
利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值．
【详解】
，，则，
，则，所以，，
因此，
，
故选C．
本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：
①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；
②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．
9、C
【解析】
画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案
【详解】
对于选项A，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不正确；
对于选项B，若，分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线，都有，但，所以B不正确；
对于选项D，在长方体中，令下底面为，左边侧面为，此时，在右边侧面中取一条对角线，则，但与不垂直，所以D不正确；
对于选项C，设平面，且，因为，所以，又，所以，又，所以，所以C正确.
本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题
10、D
【解析】
先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.
【详解】
高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比，所以总交稿数为，
高二年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数为．
故选D
本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由等比数列的性质可得, ,代入式子中运算即可.
【详解】
解：在等比数列中,
若

故答案为：
本题考查等比数列的下标和性质的应用.
12、1
【解析】
由已知数列递推式可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．
【详解】
由，得，
，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
．
故答案为：1．
本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．
13、.
【解析】
根据题意画出正方体,由线段关系即可求得三棱锥的体积.
【详解】
根据题意,画出正方体如下图所示:

由棱锥的体积公式可知

故答案为:
本题考查了三棱锥体积求法,通过转换顶点法求棱锥的体积是常用方法,属于基础题.
14、.
【解析】
根据随机数法列出前个个体的编号，即可得出答案.
【详解】
由随机数法可知，前个个体的编号依次为、、、、、、，
因此，第个个体是，故答案为.
本题考查随机数法读取样本个体编号，读取时要把握两个原则：
（1）看样本编号最大数为几位数，读取时就几个数连着一起取；
（2）不在编号范围内的号码要去掉，重复的只能取第一次.
15、
【解析】
根据数列的递推公式求出该数列的前几项，找出数列的周期性，从而求出数列的前项和的值.
【详解】
对任意的，，.
则，，，，，，所以，.
，且，
，故答案为：.
本题考查数列递推公式的应用，考查数列周期性的应用，解题时要结合递推公式求出数列的前若干项，找出数列的规律，考查推理能力和计算能力，属于中等题.
16、
【解析】
由已知条件推导出，，由此能求出使前项和成立的最大自然数的值．
【详解】
解：等差数列，首项，，，
，．
如若不然，，则，
而，得，矛盾，故不可能．

使前项和成立的最大自然数为．
故答案为：．
本题考查等差数列的前项和取最大值时的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见详解；（2）
【解析】
（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理可得，从而可得为的中点，进而可证出
（2）利用面面垂直的性质定理可得平面，从而可得三棱柱为直三棱柱，在中，根据等腰三角形的性质可得，进而可得棱柱的高为，利用柱体的体积公式即可求解.
【详解】
（1）连接交于点，连接，如图：

由平面，且平面平面,
所以，由为的中点，
所以为的中点，
又，

（2）由四边形是矩形，且平面平面ABC，
所以平面，即三棱柱为直三棱柱，
在中，，，，
所以，
因为直线与平面ABC所成角的正切值等于2，
在中，，所以.
.
本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，同时考查了线面角以及柱体的体积公式，属于基础题.
18、 (1)；(2).
【解析】
（1）先由两点写出直线BC的方程，再根据点斜式写出目标直线的方程；
（2）过点B且与直线AC平行的直线即为所求，注意垂直平分线不过点B，故舍去.
【详解】
（1）由、两点的坐标可得，
因为待求直线与直线BC平行，故其斜率为
由点斜式方程可得目标直线方程为
整理得.
（2）由、点的坐标可知，其中点坐标为
又直线AC没有斜率，故其垂直平分线为，此直线不经过点B，故垂直平分线舍去；
则满足题意的直线为与直线AC平行的直线，即.
综上所述，满足题意的直线方程为.
本题考查直线方程的求解，属基础题.
19、当时， ， 当时， ， 当时， .
【解析】
将函数的解析式化成二次函数的形式，然后把作为整体，并根据的取值范围，结合求二次函数在闭区间上的最值的方法进行求解即可．
【详解】
由题意得．
∵，
∴．
当，即时，则当，即时，函数取得最小值，且
；
当，即时，则当，即时，函数取得最小值，且
；
当，即时，则当，函数取得最小值，且
．
综上可得．
解答本题的关键是将问题转化为二次函数的问题求解，求二次函数在闭区间上的最值时要结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的位置关系求解，体现了数形结合的应用，属于基础题．
20、投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.
【解析】
设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，根据题意列出变量、所满足的约束条件和线性目标函数，利用平移直线的方法得出线性目标函数取得最大值时的最优解，并将最优解代入线性目标函数可得出盈利的最大值，从而解答该问题.
【详解】
设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，
由题意知，即，目标函数为.
上述不等式组表示平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.

由图可知，当直线经过点时，该直线在轴上截距最大，此时取得最大值，解方程组，得，所以，点的坐标为.
当，时，取得最大值，此时，（亿元）.
答：投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.
本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21、（1），，；（2）.
【解析】
（1）依据诱导公式以及两角和的正弦公式即可计算出；（2）观察（1）中角度的关系，合情推理出一般结论，然后利用两角和的正弦公式即可证明．
【详解】
（1）

同理可得，，
．
（2）由（1）知，可以猜出：．
证明如下：

．
本题主要考查学生合情推理论证能力，以及诱导公式和两角和的正弦公式的应用，意在考查学生的数学抽象素养和逻辑推理能力．