安徽省太和县第一中学2024-2025学年数学高一下期末学业水平测试试题含解析.doc

安徽省太和县第一中学2024-2025学年数学高一下期末学业水平测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在四边形中，如果，，那么四边形的形状是（ ）
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形
2．已知，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．9
3．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥，则=( )
A．2 B．-3 C．-1 D．-3
5．已知直线,与互相垂直,则的值是( )
A． B．或 C． D．或
6．半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．4
7．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=1.5，=5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知的三个内角之比为，那么对应的三边之比等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．定义运算，如果，并且不等式对任意实数x恒成立，则实数m的范围是______.
12．数列满足，则数列的前6项和为_______．
13．若等差数列的前项和，且，则______________.
14．方程在区间的解为_______.
15．在中，角为直角，线段上的点满足，若对于给定的是唯一确定的，则_______．
16．当实数a变化时，点到直线的距离的最大值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

求证：（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PCD⊥平面PAD．
18．在等差数列中，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
19．已知圆：.
（1）过的直线与圆：交于，两点，若，求直线的方程；
（2）过的直线与圆：交于，两点，直接写出面积取值范围；
（3）已知，，圆上是否存在点，使得，请说明理由.
20．在中，已知，是边上的一点，,,.

（1）求的大小；
（2）求的长.
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
（1）求A；
（2）求面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：因为，所以，即四边形的对角线互相垂直，排除选项AD；又因为，所以四边形对边平行且相等，即四边形为平行四边形，但不能确定邻边垂直，所以只能确定为菱形．
考点：1．向量相等的定义；2．向量的垂直；
2、C
【解析】
由,可得成等比数列，即有＝4；讨论成等差数列或成等差数列，运用中项的性质，解方程可得，即可得到所求和．
【详解】
由，可得成等比数列，即有＝4，①
若成等差数列，可得，②
由①②可得，1；
若成等差数列，可得，③
由①③可得，1．
综上可得1．
故选：C．
本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．
3、C
【解析】
由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，
，则该双曲线的离心率为.故选C.
4、B
【解析】
通过向量平行得到的值，再利用和差公式计算
【详解】
向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥

故答案选B
本题考查了向量的平行，三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.
5、B
【解析】
根据直线垂直公式得到答案.
【详解】
已知直线,与互相垂直
或
故答案选B
本题考查了直线垂直的关系，意在考查学生的计算能力.
6、C
【解析】
将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.
【详解】
画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.

本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
7、A
【解析】
先由变量负相关，可排除D；再由回归直线过样本中心，即可得出结果.
【详解】
因为变量x与y负相关，所以排除D；
又回归直线过样本中心，
A选项，过点，所以A正确；
B选项，不过点，所以B不正确；
C选项，不过点，所以C不正确；
故选A
本题主要考查线性回归直线，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型.
8、D
【解析】
对于选项A,因为，所以，所以 即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当 时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.
9、B
【解析】
根据的取值进行分类讨论，去掉中绝对值符号，转化为分段函数，利用正弦函数的图象即可得解.
【详解】
当时，；
当时，.
因此，函数的图象是B选项中的图象.
故选：B.
本题考查正切函数与正弦函数的图象，去掉绝对值是关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
10、D
【解析】
∵已知△ABC的三个内角之比为,∴有,再由,可得，
故三内角分别为.
再由正弦定理可得三边之比，
故答案为
点睛：本题考查正弦定理的应用，结合三角形内角和等于，很容易得出三个角的大小，利用正弦定理即出结果

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先由题意得到，根据题意求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
由题意得到，
其中，
因为，所以，
又不等式对任意实数x恒成立，
所以.
故答案
本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.
12、84
【解析】
根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.
【详解】
因为，
所以.
本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
13、
【解析】
设等差数列的公差为，根据题意建立和的方程组，解出这两个量，即可求出的值.
【详解】
设等差数列的公差为，由题意得，解得，
因此，.
故答案为：.
本题考查等差数列中项的计算，解题的关键就是要建立首项和公差的方程组，利用这两个基本量来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
14、或
【解析】
由题意求得，利用反三角函数求出方程在区间的解．
【详解】
解：，
得，
，或，；
方程在区间的解为：
或．
故答案为：或．
本题考查了三角函数方程的解法与应用问题，是基础题．
15、
【解析】
设，根据已知先求出x的值，再求的值.
【详解】
设，则.
依题意，若对于给定的是唯一的确定的，
函数在（1，）是增函数，在（，+）是减函数，
所以，此时，.
故答案为
本题主要考查对勾函数的图像和性质，考查差角的正切的计算和同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16、
【解析】
由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．
【详解】
由直线，得，
联立，解得．
直线恒过定点，
到直线的最大距离．
故答案为：．
本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详证见解析；（2）详证见解析.
【解析】
（ 1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面．
（ 2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直．
【详解】
（ 1）证明： 连交于O,
因为四边形是正方形 ,
所以 ,
连，则是三角形的中位线, ,
平面，平面
所以平面 .
（2）因为平面 ,
所以 ,
因为是正方形，所以,
所以平面,
所以平面平面.
证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证．
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的通项公式．
（Ⅱ）由，，能求出数列的前n项和．
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，则

解得，∴．
（Ⅱ）．
19、（1）或；（2）；（3）存在，理由见解析
【解析】
求得圆的圆心和半径.
（1）设出直线的方程，利用弦长、勾股定理和点到直线距离列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
（2）利用三角形的面积公式列式，由此求得面积取值范围.
（3）求得三角形外接圆的方程，根据圆和圆的位置关系，判断出点存在.
【详解】
圆心为，半径为.
（1）直线有斜率，设：，圆心到直线的距离为，
∵，
则由，得，
直线的方程为或
（2）依题意可知，三角形的面积为，由于，所以，所以.
（3）设三角形的外接圆圆心为（），半径为，由正弦定理得，，所以，所以圆的圆心为,所以圆的方程为，圆与圆满足圆心距：
，
∴圆与圆相交于两点，
圆上存在两个这样的点，满足题意.
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）在中，由余弦定理得，最后根据的值及，即可得到的值；（2）在中，由正弦定理得到，从而代入数据进行运算即可得到的长.
试题解析：（1）在中，，由余弦定理可得

又因为，所以
（2）在中，
由正弦定理可得
所以.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解斜三角形.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由题目条件a=1，可以将（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC中的1换成a，达到齐次化的目的，再用正余弦定理解决；
（2）已知∠A，要求△ABC的面积，可用公式，因此把问题转化为求bc的最大值．
【详解】
（1）因为（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
由正弦定理得：（1+b）（a-b）=（c-b）c
∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，得b2+c2-a2=bc
由余弦定理得：，
所以．
（2）因为b2+c2-a2=bc，
所以bc=b2+c2-1≥2bc-1，可得bc≤1；
所以，
当且仅当b=c=1时，取等号．
∴面积的最大值.
本题考查正弦定理解三角形及面积问题，解决三角形面积最值问题常常结合均值不等式求解，属于中等题.