2024-2025学年湖南省长沙市浏阳市数学高一下期末复习检测试题含解析.doc

2024-2025学年湖南省长沙市浏阳市数学高一下期末复习检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是(　　)
A． B． C． D．
2．已知角的终边过点，则的值为
A． B． C． D．
3．不等式的解集为
A． B． C． D．
4．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
5．若都是正数，则的最小值为( ).
A．5 B．7 C．9 D．13
6．在中，角所对的边分别为.若，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（　　）
A． B． C． D．
8．茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则，的值分别为

A． B．
C． D．
9．在数列中,,则数列的前n项和的最大值是（ ）
A．136 B．140 C．144 D．148
10．在中，已知， 那么一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列是等比数列，则数列 _________也是等比数列.
12．已知向量，则的单位向量的坐标为_______.
13．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________．
14．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为________
15．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.
16．数列中，已知，50为第________项.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求的值；
（2）设，求 的值.
18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.
19．如图，在四边形中，已知，，，，设．

（1）求（用表示）；
（2）求的最小值.（结果精确到米）
20．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
21．正项数列的前项和为，且.
（Ⅰ）试求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的前项和为.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
先求出变换后的函数的解析式，求出所得函数的对称中心坐标，可得出正确选项.
【详解】
函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的解析式为，令，得，
因此，所得函数的图象的一个对称中心是，故选B.
本题考查图象的变换以及三角函数的对称中心，解题的关键就是求出变换后的三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2、B
【解析】
由三角函数的广义定义可得的值.
【详解】
因为，故选B.
本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力.
3、D
【解析】
把不等式化为，即可求解不等式的解集，得到答案．
【详解】
由题意，不等式可化为，解得或，
即不等式的解集为，故选D．
本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4、D
【解析】
根据三角函数的图象平移的原则，即左加右减，即可得答案．
【详解】
由，
可以将函数图象向左平移个长度单位即可，
故选：D．
本题考查三角函数的平移变换，求解时注意平移变换是针对自变量而言的，同时要注意是由谁变换到谁.
5、C
【解析】
把式子展开，合并同类项，运用基本不等式，可以求出
的最小值.
【详解】
因为都是正数，所以，（当且仅当时取等号），故本题选C.
本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.
6、B
【解析】
利用正弦定理可求.
【详解】
由正弦定理得.故选 B.
本题考查正弦定理的应用，属于容易题.
7、D
【解析】
根据任意角三角函数定义可求得；根据诱导公式可将所求式子化为，代入求得结果.
【详解】
由得：

本题正确选项：
本题考查任意角三角函数值的求解、利用诱导公式化简求值问题；关键是能够通过角的终边上的点求得角的三角函数值.
8、A
【解析】
根据众数的概念可确定；根据平均数的计算方法可构造方程求得.
【详解】
甲组数据众数为 甲组数据的中位数为
乙组数据的平均数为：，解得：
本题正确选项：
本题考查茎叶图中众数、中位数、平均数的求解，属于基础题.
9、C
【解析】
可得数列为等差数列且前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得前8或9项和最大，由求和公式计算可得．
【详解】
解：∵在数列中,，
，即数列为公差为−4的等差数列，
，
令可得，
∴递减的等差数列中前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，
∴数列的前8或9项和最大，
由求和公式可得
故选：C．
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的判定，属基础题．
10、B
【解析】
先化简sin Acos B＝sin C=，即得三角形形状.
【详解】
由sin Acos B＝sin C得
所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π），
所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=,
所以三角形是直角三角形.
故答案为A
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用类比推理分析，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．
【详解】
由数列是等差数列，则当时，数列也是等差数列．类比上述性质，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．
故答案为：
类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
12、.
【解析】
由结论“与方向相同的单位向量为”可求出的坐标.
【详解】
，所以，，故答案为.
本题考查单位向量坐标的计算，考查共线向量的坐标运算，充分利用共线单位向量的结论可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题.
13、
【解析】
取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由余弦定理计算出，可得出结果．
【详解】
取的中点，由且可得为所成的角，
设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，
又，由余弦定理可得，
故答案为．

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题．
14、
【解析】
根据题意结合整除中的余数问题、最小公倍数问题，进行分析求解即可．
【详解】
由题意得：一个数用3除余2，用7除也余2，
所以用3与7的最小公倍数21除也余2，
而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，
同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即，
即数列的通项公式可以表示为，
故答案为：.
本题以数学文化为背景，利用数列中的整除、最小公倍数进行求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
15、
【解析】
先利用辅助角公式将函数的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数的解析式，即可计算出的值．
【详解】
，
由题意可得，
因此，，
故答案为．
本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为（或）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量上进行加减，考查计算能力，属于中等题．
16、4
【解析】
方程变为，设，解关于的二次方程可求得。
【详解】
，则，即
设，则，有或
取得，，所以是第4项。
发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）直接带入求值；
（2）将和直接带入函数，会得到和的值，
然后根据的值．
试题解析：解：（1）
（2）

考点：三角函数求值
18、（1）分别抽取人，人，人；（2）
【解析】
（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.
【详解】
（1）第组的人数为， 第组的人数为， 第组的人数为，
因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽
取的人数分别为：第组: ；第组: ；第组: .
所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.
（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.
记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则
从名志愿者中抽取名志愿者有:
，，，，，，，，，，
，，，，，共有种.
其中第组的志愿者被抽中的有种，

答：第组的志愿者有被抽中的概率为
本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.
19、（1）；（2）米
【解析】
（1）在中，由正弦定理，求得，再在中，利用正弦定理，即可求得的表达式；
（2）在中，由正弦定理，求得，进而可得到，利用三角函数的性质，即可求解．
【详解】
（1）由题意，在中，，
由正弦定理，可得，即，
在中，，
由正弦定理，可得，即，
（2）在中，
由正弦定理，可得，即
所以
因为，所以
所以当时，取得最小值
最小值约为米.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
20、（1）；（2）
【解析】
分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得的表达式,由两式相减,变形即可证明数列为等差数列,进而结合首项与公差求得的通项公式.
（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.将与代入即可求得数列的通项公式,利用裂项法即可求得前项和.
（Ⅲ）先求得的取值范围,结合不等式,即可求得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）因为正项数列的前项和为,且
化简可得
由递推公式可得
两式相减可得,变形可得
即,由正项等比数列可得
所以
而当时,解得
所以数列是以为首项,以为公差的等差数列
因而
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
则
代入中可得
所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
则,所以数列为单调递增数列,则
且当时, ,即
所以
因为对一切的恒成立
则满足,解不等式组可得
即实数的取值范围为
本题考查了等差数列通项公式与求和公式的应用,裂项求和法的应用,数列的单调性与不等式关系,综合性强,属于中档题.