2024-2025学年上海市宝山中学高一下数学期末统考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年上海市宝山中学高一下数学期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．圆的半径是，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ）
A． B． C． D．
2．长方体共顶点的三个相邻面面积分别为，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．数列为等比数列，若，，数列的前项和为，则　　
A． B． C．7 D．31
4．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝，则C为(　　)
A． B． C． D．
5．已知，那么( )
A． B． C． D．
6．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
7．内角，，的对边分别为，，.已知，，，则这样的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．直线l：的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
9．（卷号）2397643038875648
（题号）2398229448728576
（题文）
已知直线、，平面、，给出下列命题：
①若，，且，则；②若，，且，则；
③若，，且，则；④若，，且，则.
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
10．若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________________________．

12．在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义： ，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ．
13．等差数列中，，则其前12项之和的值为______
14．已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ．
15．已知，则的值为．
16．设为正实数.若存在、，使得，则的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某厂生产产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投人成本万元.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润万元关于千件的函数关系式；
（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？
18．2019年是中华人民共和国成立70周年，某校党支部举办了一场“我和我的祖国”知识竞赛，满分100分，回收40份答卷，成绩均落在区间内，将成绩绘制成如下的频率分布直方图.

（1）估计知识竞赛成绩的中位数和平均数；
（2）从，分数段中，按分层抽样随机抽取5份答卷，再从对应的党员中选出3位党员参加县级交流会，求选出的3位党员中有2位成绩来自于分数段的概率.
19．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.
（附：线性回归方程中，，，其中为样本平均数）
20．已知圆：．
（Ⅰ）求过点的圆的切线方程；
（Ⅱ）设圆与轴相交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点．
（ⅰ）当点的坐标为时，求以为直径的圆的圆心坐标及半径；
（ⅱ）当点在圆上运动时，以为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？请说明理由．
21．已知数列满足：，，数列满足.
（1）若数列的前项和为，求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
先将化为弧度数，再利用扇形面积计算公式即可得出．
【详解】

所以扇形的面积为：
故选：C
题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2、A
【解析】
设长方体的棱长为，球的半径为，根据题意有，再根据球的直径是长方体的体对角线求解.
【详解】
设长方体的棱长为，球的半径为，
根据题意，，
解得，
所以，
所以外接球的表面积，
故选：A
本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3、A
【解析】
先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果.
【详解】
数列为等比数列，，，
，解得，
，
数列的前项和为，
．
故选．
本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
4、C
【解析】
由正弦定理先求出的值，然后求出结果
【详解】
在中，

，则

故选
本题运用正弦定理解三角形，熟练运用公式即可求出结果，较为简单。
5、C
【解析】
试题分析：由，得.故选B．
考点：诱导公式．
6、B
【解析】
试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．

考点：异面直线所成的角．
【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．
7、C
【解析】
根据和的大小关系，判断出解的个数.
【详解】
由于，所以，故解的个数有两个.如图所示两个解.

故选：C
本小题主要考查正弦定理的运用过程中，三角形解的个数判断，属于基础题.
8、C
【解析】
由直线的斜率，又，再求解即可.
【详解】
解：由直线l：，
则直线的斜率，
又，
所以，
即直线l：的倾斜角为，
故选：C.
本题考查了直线倾斜角的求法，属基础题.
9、C
【解析】
逐一判断各命题的正误，可得出结论.
【详解】
对于命题①，若，，且，则，该命题正确；
对于命题②，若，，且，则与平行或相交，该命题错误；
对于命题③，若，，且，则与平行、垂直或斜交，该命题错误 ；
对于命题④，若，，且，则，该命题正确.
故选：C.
本题考查线面、面面位置关系有关命题真假的判断，在判断时，可充分利用线面、面面平行或垂直的判定与性质定理，也可以结合几何体模型进行判断，考查推理能力，属于中等题.
10、C
【解析】
根据三角函数定义结合正弦的二倍角公式计算即可
【详解】
由题意，∴，，
．
故选：C.
本题考查三角函数的定义，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函数定义是解题关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
连接、，取的中点，连接，可知，且是以为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案．
【详解】
如下图所示：

连接、，取的中点，连接，
在正方体中，，则四边形为平行四边形，
所以，则异面直线和所成的角为或其补角，
易知，由勾股定理可得，，
为的中点，则，在中，，
因此，异面直线和所成角的余弦值为，故答案为．
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．
12、
【解析】试题分析：根据正余弦函数的定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.
考点：三角函数的概念.
13、
【解析】
利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解．
【详解】
∵等差数列{an}中，a3+a10＝25，
∴其前12项之和S126（a3+a10）＝6×25＝1．
故答案为：1．
本题考查等差数列的前n项和的公式，考查等差数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题．
14、
【解析】
如图
分别作于A,于C,于B,于D,
连CQ,BD则,,

又
当且仅当,
即点A与点P重合时取最小值.
故答案选C.

15、
【解析】
利用商数关系式化简即可．
【详解】
，故填．
利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：
（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把含有正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；
（2）“1”的代换法：有时可以把看成．
16、
【解析】
由. 而，故已知条件等价于：存在整数、，使得 ①，再对分类讨论求出的范围.
【详解】
由.
而，故已知条件等价于：存在整数、，使得
. ①
当时，区间的长度不小于，故必存在、满足式①.
当时，注意到，.
故只要考虑如下几种情形：
（1），此时，，且，无解；
（2），此时，；
（3），此时，.
综上，并注意到也满足条件，知.
故答案为：
本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）100
【解析】
（1）由于每生产千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当时和当时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.
（2）根据（1）的利润函数为，当时，用二次函数法求最大值；当时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x的取值即为此时最大利润时的产量.
【详解】
（1）根据题意
当时， ，
当时， ，
综上： .
（2）由（1）知，
当时， ，
当 时，的最大值为950万.
当时， ，
当且仅当即时取等号，的最大值为1000万.
综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.
本题主要考查了分段函数的实际应用，还考查了建模，运算求解的能力，属于骠题.
18、（1）中位数为80.平均数为（2）
【解析】
（1）由频率分布直方图可知，利用中位数和平均数的计算公式，即可求解.
（2）由频率分布直方图可知，分别求得，分数段中答卷数，利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，前3个小矩形的面积和为，后2个小矩形的面积和为，所以估计中位数为80.
估计平均数为.
（2）由频率分布直方图可知，分数段中答卷数分别为12，8，
抽取比例为，所以，分数段中抽取的答卷数分别为3，2.
记中对应的3为党员为，，，中对应的2为党员为，.
则从中选出对应的3位党员，共有不同的选法总数10种：，，，，，，，，，.
易知有2位来自于分数段的有3种，故所求概率为.
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中熟记频率直方图中中位数和平均数的计算方法，以及准确利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19、（1）；（2）6.8千元．
【解析】
（1）由表中数据计算、，求出回归系数，得出关于的线性回归方程；
（2）利用线性回归方程计算2020年对应时的值，即可得出结论．
【详解】
（1）由表中数据，计算，
，
，
，
，
，
关于的线性回归方程为：；
（2）利用线性回归方程，计算时，（千元），
预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理．
20、（Ⅰ）或；（Ⅱ）（ⅰ）圆心为，半径；（ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）先判断在圆外， 所以圆过点的切线有两条．再由斜率是否存在分别讨论．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PA和PB把其与直线交于，两点表示出来，写出圆的方程化简即可．（ⅱ）先求出以为直径的圆被轴截得的弦长，在设出PA和PB的直线方程，分别求出与直线的交点，求出圆心，再根据勾股定理易求解．
【详解】
（Ⅰ）因为点在圆外， 所以圆过点的切线有两条．
当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件．
当直线的斜率存在时，可设为，即．
由圆心到切线的距离，解得． 此时切线方程为．
综上，圆的切线方程为或．
（Ⅱ）因为圆与轴相交于，两点，所以，．
（ⅰ）当点坐标为时，直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为 ，
同理直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为． 所以以为直径的圆的圆心为，半径．
（ⅱ）以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
设点，则．
直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为．
同理直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为．
所以圆的圆心，半径为．
方法一：圆被轴截得的弦长为
．
所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
方法二：圆的方程为．
令，解得．
所以．
所以圆与轴的交点坐标分别为，．
所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
此题考查解析几何中关于圆的题目，一般做法是设而不求，将需要的信息表示出来再化简求值，属于一般性题目．
21、 (1)；(2).
【解析】
(1)构造数列等差数列求得的通项公式,再进行求和,再利用裂项相消求得；
(2)由题出现 ,故考虑用分为偶数和奇数两种情况进行计算.
【详解】
(1)由得,即,所以是以为首项,1为公差的等差数列,故,故.
所以,故
.
(2)当为偶数时,

，当为奇数时,为偶数,

综上所述,当为偶数时,,
当为奇数时,
即.
本题主要考查了等差数列定义的应用，考查构造法求数列的通项公式与裂项求和及奇偶并项求和的方法，考查了分析问题的能力及逻辑推理能力，属于中档题.