山东省枣庄市薛城区2025届数学高一第二学期期末达标检测试题含解析.doc

山东省枣庄市薛城区2025届数学高一第二学期期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列满足，，则数列的前5项和（ ）
A．15 B．28 C．45 D．66
2．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在下列结论中，正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
4．函数是( ).
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为奇函数
5．若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知数列为等差数列，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设函数,，其中,.若，且 的最小正周期大于，则（ ）
A．, B．,
C．, D．,
8．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．直线 y＝﹣x+1的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
10．某防疫站对学生进行身体健康调查，与采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生（ ）
A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．

12．和的等差中项为__________．
13．在△ABC 中，若，则△ABC的形状是 ____.
14．将无限循环小数化为分数，则所得最简分数为______；
15．命题“数列的前项和”成立的充要条件是________.（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母）
16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A，B两点若，则该双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.

(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
18．已知同一平面内的三个向量、、，其中（1，2）．
（1）若||＝2，且与的夹角为0°，求的坐标；
（2）若2||＝||，且2与2垂直，求在方向上的投影．
19．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82　84　85　89　79　80　91　89　79　74
乙班：90　76　86　81　84　87　86　82　85　83
(1)求两个样本的平均数；
(2)求两个样本的方差和标准差；
(3)试分析比较两个班的学习情况．
20．如图,四棱锥 中,是正三角形,四边形ABCD是矩形,且平面平面.
(1)若点E是PC的中点,求证:平面BDE;
(2)若点F在线段PA上,且,当三棱锥的体积为时,求实数的值.

21．求值：（1）一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数；
（2）已知，计算.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据可知数列为等差数列,再根据等差数列的求和性质求解即可.
【详解】
因为,故数列是以4为公差,首项的等差数列.
故.
故选：C
本题主要考查了等差数列的判定与等差数列求和的性质与计算,属于基础题.
2、B
【解析】
由解得为函数的定义域.令，消去得，图像为椭圆的一部分，如下图所示.，即直线，由图可知，截距在点处取得最小值，在与椭圆相切的点处取得最大值.而，故最小值为.联立，消去得，其判别式为零，即，解得（负根舍去），即，故.

【点睛】本题主要考查含有两个根号的函数怎样求最大值和最小值.先用换元法，将原函数改写成为一次函数的形式.然后利用和的关系，得到的可行域，本题中可行域为椭圆在第一象限的部分.然后利用，用截距的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.
3、B
【解析】
逐一分析选项，得到答案.
【详解】
A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；
B. 向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；
C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；
D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.
故选B.
本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.
4、B
【解析】
因，故是奇函数，且最小正周期是，即，应选答案B．
点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．
5、D
【解析】
由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．
【详解】
A选项不正确，因为若，，则不成立；
B选项不正确，若时就不成立；
C选项不正确，同B，时就不成立；
D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．
本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．
6、D
【解析】
由等差数列的性质可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．
【详解】
∵数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，
∴a1+a7+a13=3a7=4π，解得a7=，
∴tan（a2+a12）=tan（2a7）
=tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣
故选D．
本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题．
7、B
【解析】
根据周期以及最值点和平衡位置点先分析的值，然后带入最值点计算的值.
【详解】
因为，，所以，
则，所以，即，故；
则，代入可得：且，
所以.
故选B.
（1）三角函数图象上，最值点和平衡位置的点之间相差奇数个四分之一周期的长度；
（2）计算的值时，注意选用最值点或者非特殊位置点，不要选用平衡位置点（容易多解）.
8、B
【解析】
根据大边对大角定理知边长为所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出的取值范围．
【详解】
由题意知，边长为所对的角不是最大角，则边长为或所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到，
由于，解得，故选C．
本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：
为锐角；为直角；为钝角.
9、C
【解析】
由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．
【详解】
直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，
设倾斜角为α，则tanα＝﹣1，
∴α＝135°
故选：C．
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．
10、D
【解析】
由分层抽样的办法可知在名学生中抽取的男生有，故女生人数为，应选答案D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先求出点B的坐标，再求出M的坐标.
【详解】
由题得B(4,6,0),,
因为M点是中点，
所以点M坐标为.
故答案为
本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
12、
【解析】
设和的等差中项为，利用等差中项公式可得出的值.
【详解】
设和的等差中项为，由等差中项公式可得，故答案为：.
本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.
13、钝角三角形
【解析】
由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得可判断的取值范围
【详解】
解：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得

是钝角三角形
故答案为钝角三角形．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题
14、
【解析】
将设为，考虑即为，两式相减构造方程即可求解出的值，即可得到对应的最简分数.
【详解】
设，则，
由可知，解得.
故答案为：.
本题考查将无限循环小数化为最简分数，主要采用方程的思想去计算，难度较易.
15、数列为等差数列且，．
【解析】
根据题意，设该数列为，由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且，，反之验证可得成立，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，设该数列为，
若数列的前项和，则当时，，
当时，，
当时，符合，
故有数列为等差数列且，，
反之当数列为等差数列且，时，，；
故数列的前项和”成立的充要条件是数列为等差数列且，，
故答案为：数列为等差数列且，．
本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．
16、
【解析】
根据题意到，联立方程得到，得到答案.
【详解】
，故.
，故，故，故.
故双曲线渐近线方程为：.
故答案为：.
本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.
【解析】
（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．
【详解】
由题意可得，，，由于 ，，
所以，，
，
即，
设，则，由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
三角函数值域得不同求法：
1.利用和的值域直接求
2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域
3.通过换元，转化成其他类型函数求值域
18、（1）（2，4）（2）
【解析】
（1）由题意可得与共线，设出的坐标，根据||＝2，求出参数的值，可得的坐标；
（2）由题意可得，再根据，求出 的值，可得在方向上的投影的值．
【详解】
（1）同一平面内的三个向量、、，其中（1，2），若||＝2，且与的夹角为0°，
则与共线，故可设（t，2t），t＞0，
∴2，∴t＝2，即（2，4）．
（2）∵2||＝||，即||．
∵2与2垂直，∴（2）•（2）＝2320，
即83•20，即366，即•，
∴在方向上的投影为．
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．
19、（1），；（2），，；（3）乙班的总体学习情况比甲班好
【解析】
试题分析：每组样本数据有10个，求样本的平均数利用平均数公式，10个数的平均数等于这10个数的和除以10；比较平均分的大小可以看出两个班学生平均水平的高低，求样本的方差只需使用方差公式，求这10个数与平均数的差的平方方和再除以10；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定 。
试题解析：
(1)＝×(82＋1＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83. 2，
＝×(90＋76＋86＋81＋1＋87＋86＋82＋85＋83)＝1．
(2)＝×[(82－83. 2)2＋(1－83. 2)2＋(85－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(80－83. 2)2＋(91－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(74－83. 2)2]＝26. 36，
＝ [(90－1)2＋(76－1)2＋(86－1)2＋(81－1)2＋(1－1)2＋(87－1)2＋(86－1)2＋(82－1)2＋(85－1)2＋(83－1)2]＝13. 2，
则s甲＝≈5. 13，s乙＝≈3. 2．
(3)由于，则甲班比乙班平均水平低．由于，则甲班没有乙班稳定．
所以乙班的总体学习情况比甲班好
【点睛】怎样求样本的平均数，n个数的平均数等于这n个数的和除以n；比较平均数的大小可以看出两个样本平均水平的高低，怎样求样本的方差，就是求这n个数与平均数的差的平方方和再除以n；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定 。
20、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，进一步利用求得最后利用平行线分线段成比例求出λ的值
试题解析：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，
又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，
所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；
作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，
所以BC⊥平面PAB，则△PBC为直角三角形，
所以，则直角三角形△ABD的面积为，

由FM∥PO得：
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）设出扇形的半径为，弧长为，利用面积、周长的值，得到关于的方程；
（2）由已知条件得到，再代入所求的式子进行约分求值.
【详解】
（1）设扇形的半径为，弧长为，则解得：
所以圆心角的弧度数.
（2）因为，所以，
所以.
若三个中，只要知道其中一个，则另外两个都可求出，即知一求二.