江苏省盐城市亭湖区伍佑中学2025届数学高一下期末监测试题含解析.doc

江苏省盐城市亭湖区伍佑中学2025届数学高一下期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知变量x，y的取值如下表：
x
1
2
3
4
5
y
10
15
30
45
50
由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归直线的方程为，据此可预测：当时，y的值约为（ ）
A．63 B．74 C．85 D．96
2．在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．已知数列为等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．过点且与直线垂直的直线方程是 ．
A． B． C． D．
5．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知，，若直线上存在点M满足，则实数c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．直线的倾斜角为
A． B． C． D．
7．法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A的概率存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则=（ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱柱的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．．设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离. B．相切. C．相交. D．随m的变化而变化.
10．如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点作轴的垂线，垂足为．记线段的长为，则函数的图象大致是( )

A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若实数满足，，则__________．
12．在正方体的体对角线与棱所在直线的位置关系是______.
13．已知，则_________.
14．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
15．函数的值域是__________.
16．函数的单调增区间是_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调区间.
18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.

（1）证明:；
（2）求三棱锥的体积．
19．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是．
（1）求n的值；
（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．
①记“”为事件A，求事件A的概率；
②在区间内任取2个实数，求事件“恒成立”的概率．
20．为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，，，，.
（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.
21．平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．
(1)求满足的实数m，n；
(2)若，求实数k；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，取求得值即可．
【详解】
由题得，．
故样本点的中心的坐标为，
代入，得．
，取，得．
故选：．
本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
2、C
【解析】
首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.
【详解】
连接．

因为为正方体，所以，
则是异面直线和所成角．又,
可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，
故选：C
本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.
3、A
【解析】
根据等比数列性质知：，得到答案.
【详解】
已知数列为等比数列

故答案选A
本题考查了等比数列的性质，属于简单题.
4、A
【解析】
根据与已知直线垂直的直线系方程可假设直线为，代入点解得直线方程.
【详解】
设与直线垂直的直线为：
代入可得：，解得：
所求直线方程为：，即
本题正确选项：
本题考查利用两条直线的垂直关系求解直线方程的问题，属于基础题.
5、B
【解析】
根据题意设点M的坐标为，利用两点间的距离公式可得到关于的一元二次方程，只需即可求解.
【详解】
点M在直线上，不妨设点M的坐标为，
由直线上存在点M满足，
则，
整理可得，

，
所以实数c的取值范围为.
故选：B
本题考查了两点间的距离公式、一元二次不等式的解法，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.
6、D
【解析】
求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.
【详解】
依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为，故选D.
本小题主要考查由直线一般式求斜率和倾斜角，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
7、B
【解析】
由几何概型中的角度型得： ，得解．
【详解】
设固定弦的一个端点为，
则另一个端点在圆周上劣弧上随机选取即可满足题意，
则（A），
故选：．

本题考查了几何概型中的角度型，属于基础题．
8、D
【解析】
先证明棱柱为直棱柱，再求出棱柱外接球的半径，利用基本不等式求出其最小值.
【详解】
∵三棱柱内接于球，
∴棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆，
所以棱柱的侧棱都垂直底面，
所以该三棱柱为直三棱柱.
设底面三角形的两条直角边长为，，
∵三棱柱的高为2，体积是1，
∴，即，将直三棱柱补成一个长方体，
则直三棱柱与长方体有同一个外接球，
所以球的半径为.
故选D
本题主要考查几何体外接球的半径的计算和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、D
【解析】
直线AB的方程为.
即，所以直线AB的方程为,
因为,所以,
所以,所以直线AB与圆可能相交，也可能相切，也可能相离.
10、B
【解析】
，所以选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由反正弦函数的定义求解．
【详解】
∵，∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查反正弦函数，解题时注意反正弦函数的取值范围是，结合诱导公式求解．
12、异面直线
【解析】
根据异面直线的定义，作出图形，即可求解，得到答案.
【详解】
如图所示，与不在同一平面内，也不相交，所以体对角线与棱是异面直线.

本题主要考查了异面直线的概念及其判定，其中熟记异面直线的定义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
13、
【解析】
由题意可得：

点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；
注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．
14、如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.
【解析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】
将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
15、
【解析】
根据反余弦函数的性质，可得函数在单调递减函数，代入即可求解．
【详解】
由题意，函数的性质，可得函数在单调递减函数，
又由，所以函数在的值域为．
故答案为：.
本题主要考查了反余弦函数的单调性的应用，其中解答中熟记反余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16、，
【解析】
令，即可求得结果.
【详解】
令 ，
解得： ，
所以单调递增区间是，
故填：，
本题考查了型如：单调区间的求法，属于基础题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间。
试题解析：
（Ⅰ）

∴的最小正周期为.
（Ⅱ）由，
得
∴的单调增区间为
由
得
∴的单调减区间为
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据•＝0，可得BE⊥DC；
（2）由点为棱的中点，且底面，利用等体积法得．
【详解】
（1）∵底面，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，，点为棱的中点．
∴（1，0，0），（2，2，0），（0，2，0），（0，0，2），（1，1，1）
∴＝（0，1，1），＝（2，0，0）,∵•＝0，可得BE⊥DC；

（2）由点为棱的中点，且底面，利用等体积法得
.
本题考查了空间线面垂直的判定，利用了向量法，也考查了等体积法求体积，属于中档题．
19、（1）；（2）P＝．
【解析】
试题分析：（1）依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球有n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为，解得n＝2；
（2）①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，
故；
②由①知，，故，（x，y）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为，由集合概型得概率为．
考点：考查了古典概型和几何概型．
点评：解本题的关键是掌握古典概型和集合概型的概率公式，并能正确应用．
20、（1）；（2）正相关；（3）2.2千元.
【解析】
（1）直接利用公式计算回归方程为：.
（2）由（1），故正相关.
（3）把代入得：.
【详解】
（1）∵，，样本中心点为：
∴由公式得：
把代入得：
所求回归方程为：；
（2）由（1）知，所求出方程的系数为：，，
∵，
∴与之间是正相关.
（3）把代入得：（千元）
即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.
本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力.
21、（1）； （2）.
【解析】
(1)由及已知得,由此列方程组能求出实数；(2)由 ,可得，由此能求出的值.
【详解】
(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以，解得；
(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝.
本题主要考查相等向量与共线向量的性质，属于简单题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.