2025年陕西省延安市吴起县高级中学高一数学第二学期期末经典试题含解析.doc

2025年陕西省延安市吴起县高级中学高一数学第二学期期末经典试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为
A．1 B． C． D．0
4．直线的倾斜角大小（ ）
A． B． C． D．
5．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
现在，将十进制整数2019化成16进制数为（ ）
A．7E3 B．7F3 C．8E3 D．8F3
8．已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为(　　)
A． B． C． D．
9．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）

A． B． C．3 D．2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．圆上的点到直线的距离的最小值是______.
12．已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________
13．如图是一个算法的流程图，则输出的的值是________.

14．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.
15．在中，角所对的边分别为，若，则=______．
16．已知圆及点，若满足：存在圆C上的两点P和Q，使得，则实数m的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄，（单位：千元）的数据资料，算出，附：线性回归方程，其中为样本平均值.
（1）求家庭的月储蓄 对月收入的线性回归方程 ；
（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
18．正项数列的前项和满足.
（I）求的值；
（II）证明：当，且时，；
（III）若对于任意的正整数，都有成立，求实数的最大值.
19．已知数列满足，数列满足，且
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．已知，且与的夹角.
（1）求的值；
（2）记与的夹角为，求的值.
21．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价元
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
销量件
100
94
93
90
85
78
（1）若销量与单价服从线性相关关系，求该回归方程；
（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润。
附：对于一组数据，，……，
其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；
本题参考数值：．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【详解】
解：以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则,
为平面的一个法向量．
．
∴直线与平面所成角的正弦值为.
故选：D．
此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．
2、C
【解析】
因为，，故选C.
3、D
【解析】
先找到直线异面直线AB1与MN所成角为∠,再通过解三角形求出它的余弦值.
【详解】
由题得,
所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.
由题得,
,
因为,
所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.
故选:D
本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4、B
【解析】
化简得到，根据计算得到答案.
【详解】
直线，即，，，故.
故选：.
本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.
5、D
【解析】
把不等式，化简为不等式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，不等式，可化为，
即，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6、B
【解析】
试题分析：点关于轴的对称点，则反射光线即在直线上，由，∴，故选B.
考点：直线方程的几种形式.
7、A
【解析】
通过竖式除法，用2019除以16，取其余数，再用商除以16，取其余数，直至商为零，将余数逆着写出来即可.
【详解】
用2019除以16，得余数为3，商为126；
用126除以16，得余数为14，商为7；
用7除以16，得余数为7，商为0；
将余数3,14,7逆着写，即可得7E3.
故选：A.
本题考查进制的转化，只需按照流程执行即可.
8、A
【解析】
利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值．
【详解】
如下图所示：

由切线的性质可知，，，且，
，
当取最小值时，、也取得最小值，
显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线
的距离，即，
此时，，
四边形面积的最小值为，故选A.
本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：
（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；
（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．
9、B
【解析】
分别令，求得不等式，由此证得成立.
【详解】
当时，，当时，，当时，，所以，所以，故选B.
本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.
10、A
【解析】
由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解．
【详解】
圆柱的侧面展开图如图，
圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，
则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，
.
故选：A．

本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值.
【详解】
圆C的圆心为，半径为，
圆心C到直线的距离为：，
所以最小值为：
故答案为：
本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d，圆的半径为r且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r，最小值为d-r.
12、
【解析】
曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.
【详解】
由消去得，
则 ，
由三角函数的定义得

故.
本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.
13、
【解析】
由程序框图，得运行过程如下：；
，结束循环，即输出的的值是7.
14、.
【解析】
由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.
【详解】
由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.
15、
【解析】
根据正弦定理得
16、
【解析】
设出点P、Q的坐标，利用平面向量的坐标运算以及两圆相交的条件求出实数m的取值范围.
【详解】
设点，
由得

，
由点在圆上，
得，
又在圆上，
，
与有交点，
则，解得
故实数m的取值范围为.
故答案为：
本题考查了向量的坐标运算、利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）1.7
【解析】
（1）根据数据，利用最小二乘法，即可求得y对月收入x的线性回归方程回归方程x；
（2）将x＝7代入即可预测该家庭的月储蓄．
【详解】
（1）由题意知， ，

∴
由.

故所求回归方程为
（2）将代入回归方程
可以预测该家庭的月储蓄为（千元）.
本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查转化思想，属于中档题．
18、（I）；（II）见解析；（III）的最大值为1
【解析】
（I）直接令中的n=1即得的值；（II）由题得时，，化简即得证；（III）用累加法可得：，再利用项和公式求得，再求的范围得解.
【详解】
（I）
（II）因为，
所以时，，
化简得：；
（III）因为，
用累加法可得：，
由，得，
当时，上式也成立,因为，
则，所以是单调递减数列，
所以，又因为，所以，即，的最大值为1.
本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由等差数列和等比数列的定义、可得所求通项公式；
（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和．
【详解】
解：（1）∵，即，，
∴为首项为1，公差为2的等差数列，
即；
∵，即有，
∴为首项为1，公比为的等比数列，
即；
（2），
∴，
∴，
两式相减可得
，
化简可得
本题主要考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．
20、（1）；（2）.
【解析】
(1)求向量的模先求向量的平方；
(2)由向量的夹角公式可以求得.
【详解】
（1）根据题意可得：

故
（2），则
故.
本题考查向量的数量积运算，求向量的模和夹角，属于基础题.
21、（1）（2）为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.
【解析】
（1）先根据公式求，再根据求即可求解；（2）先求出利润的函数关系式，再求函数的最值.
【详解】
解: （1）=
…
又
所以

故回归方程为
（2）设该产品的售价为元，工厂利润为元，当时，利润，定价不合理。
由得，故

，
，
当且仅当，即时，取得最大值.
因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.
本题考查线性回归方程和二次函数的最值. 线性回归方程的计算要根据已知选择合适的公式.求二次函数的最值常用方法：1、根据函数单调性；2、配方法；3、基本不等式，注意等式成立的条件.