江苏省南京师范大学附属扬子中学2024-2025学年数学高一下期末达标检测模拟试题含解析.doc

江苏省南京师范大学附属扬子中学2024-2025学年数学高一下期末达标检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，若与的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．1
2．sin300°的值为
A． B． C． D．
3．在正方体中，当点在线段（与，不重合）上运动时，总有：

①； ②平面平面；③平面； ④．
以上四个推断中正确的是( )
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
4．在等差数列中，，，则数列的前5项和为（ ）
A．13 B．16 C．32 D．35
5．如果，并且，那么下列不等式中不一定成立的是（　）
A． B． C． D．
6．下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；
③“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；
④“平面α∥平面β”的充分不必要条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”；
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
7．设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
8． “是与的等差中项”是“是与的等比中项”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若变量满足约束条件则的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10．等比数列的前n项和为，且，，成等差数列．若，则（ ）
A．15 B．7 C．8 D．16
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图所示，E，F分别是边长为1的正方形的边BC，CD的中点，将其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三点重合.则所围成的三棱锥的体积为___________.

12．已知某中学高三学生共有800人参加了数学与英语水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人的成绩进行统计，先将800人按001，002，…，800进行编号．
如果从第8行第7列的数开始从左向右读，（下面是随机数表的第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 26
83 92 53 16 59 16 92 75 35 62 98 21 50 71 75 12 86 73 63 01
58 07 44 39 13 26 33 21 13 42 78 64 16 07 82 52 07 44 38 15
则最先抽取的2个人的编号依次为_____．
13．在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线：上（），过分别作圆，的切线，切点分别为，，若满足的点有且只有一个，则实数的值为______.
14．如果，，则的值为________（用分数形式表示）
15．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_____．
16．已知等差数列中，其前项和为，且，，当取最大值时，的值等于_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．化简求值：
（1）化简：
（2）求值，已知，求的值
18．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．

（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：平面PCG∥平面AEF；
（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．
20．已知数列满足：
（1）设数列满足，求的前项和：
（2）证明数列是等差数列，并求其通项公式；
21．已知圆经过点.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）若圆与圆无公共点，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
先计算与的模，再根据向量数量积的性质即可计算求值.
【详解】
因为，，
所以，.
又
，
所以，故选B.
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.
2、B
【解析】
利用诱导公式化简，再求出值为.
【详解】
因为，故选B.
本题考查诱导公式的应用，即终边相同角的三角函数值相等及.
3、D
【解析】
每个结论可以通过是否能证伪排除即可．
【详解】
①因为，与相交，所以①错．
②很明显不对，只有当E在中点时才满足条件．
③易得平面平面，而AE平面，所以平面；
④因为平面，而AE平面，所以．
故选D
此题考查空间图像位置关系，一般通过特殊位置排除即可，属于较易题目．
4、D
【解析】
直接利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
数列的前5项和为.
故选：D
本题主要考查等差数列的前n项和的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
5、D
【解析】
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可判定A的真假；a>b，-1>-2，根据同向不等式可以相加，可判定B的真假；根据a-b>0则b-a<0，进行判定C的真假； a的符号不确定，从而选项D不一定成立，从而得到结论．
【详解】
∵a，b∈R，并且a>b，∴−a<−b，故A一定正确；
a>b，−1>−2，根据同向不等式可以相加得，a−1>b−2，故B一定正确；
a−b>0则b−a<0，所以a−b>b−a，故C一定正确；
不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，而a的符号不确定，故D不一定正确.
故选D.
本题主要考查利用不等式的性质判断不等关系，属于基础题.
6、B
【解析】
逐项分析见详解.
【详解】
① “a平行于b所在的平面”不能推出 “直线a∥直线b”，如：正方体上底面一条对角线平行于下底面，但上底面的一条对角线却不平行于下底面非对应位置的另一条对角线，故错误；
②“直线l⊥平面α内所有直线”是“l⊥平面α”的定义，故正确；
③“直线a、b不相交”不能推出“直线a、b为异面直线”，这里可能平行；“直线a、b为异面直线”可以推出“直线a、b不相交”，所以是必要不充分条件，故正确；
④“α内存在不共线的三点到β的距离相等”不能推出“平面α∥平面β”，这里包含了平面相交的情况，“平面α∥平面β”能推出“α内存在不共线的三点到β的距离相等”，所以是必要不充分条件，故错误.
故选B.
本题考查空间中平行与垂直关系的判断，难度一般.对可以利用判定定理和性质定理直接分析的问题，可直接判断；若无法直接判断的问题可采用作图法或者排除法判断.
7、D
【解析】
Sn＝＝＝＝3－2an.
8、A
【解析】
根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
若是与的等差中项，
则，
若是与的等比中项，
则，
则“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的充分不必要条件，
故选：A.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出的值是解决本题的关键．
9、B
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】

作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最小，代值计算可得取最大值
故选B.
【点晴】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
10、B
【解析】
通过，，成等差数列,计算出，再计算
【详解】
等比数列的前n项和为，且，，成等差数列
即

故答案选B
本题考查了等比数列通项公式，等差中项，前N项和，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据折叠后不变的垂直关系，结合线面垂直判定定理可得到为三棱锥的高，由此可根据三棱锥体积公式求得结果.
【详解】
设点重合于点，如下图所示：

， ，
又平面， 平面，即为三棱锥的高

故答案为：
本题考查立体几何折叠问题中的三棱锥体积的求解问题，处理折叠问题的关键是能够明确折叠后的不变量，即不变的垂直关系和长度关系.
12、165；535
【解析】
按照题设要求读取随机数表得到结果，注意不符合要求的数据要舍去.
【详解】
读取的第一个数： 满足；读取的第二个数： 不满足；
读取的第三个数： 不满足；读取的第三个数： 满足.
随机数表的读取规则：从指定位置开始，按照指定位数读取，一次读取一组，若读取的数不符合规定（不在范围之内），则舍去，重新读取.
13、.
【解析】
根据圆的切线的性质和三角形全等，得到，求得点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解．
【详解】
由题意得：，，设，如下图所示
∵PA、PB分别是圆O，O1的切线，∴∠PBO1=∠PAO=90°，
又∵PB=2PA，BO1=2AO，∴△PBO1∽△PAO，∴，
∴，∴，整理得，
∴点P（x，y）的轨迹是以为圆心、半径等于的圆，
∵动点P在直线：上（），满足PB=2PA的点P有且只有一个，
∴该直线l与圆相切，
∴圆心到直线l的距离d满足，即，解得或，
又因为，所以．

本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
14、
【解析】
先求出，可得，再代值计算即可.
【详解】

.
故答案为：
本题考查了等差数列的前项和公式、累乘相消法，考查了学生的计算能力，属于基础题.
15、.
【解析】
设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.
【详解】
设，，，
，
整理得，又点在直线，
直线与圆共公共点，
圆心到直线的距离，
即.
故答案为:.
本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
16、或
【解析】
设等差数列的公差为，由可得出与的等量关系，然后求出的表达式，解不等式，即可得出使得取得最大值的正整数的值.
【详解】
设等差数列的公差为，由，可得，可得，
，令，即，
，解得.
因此，当或时，取得最大值.
故答案为：或.
本题考查等差数列前项和的最大值的求解，可利用二次函数的基本性质来求，也可以转化为等差数列所有的非负项之和的问题求解，考查化归与转化思想，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据诱导公式先化简每一项，然后即可得到最简结果；
（2）利用“齐次”式的特点，分子分母同除以，将其化简为关于的形式即可求值.
【详解】
（1）原式，
（2）原式
本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系的运用，难度较易.（1）利用诱导公式进行化简时，掌握“奇变偶不变”的实际含义进行化简即可；（2）求解形如的“齐次式”的值，注意采用分子分母同除以的方法，将其化简为关于的形式再求值.
18、（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.
试题解析：（Ⅰ）证明：因，所以与确定平面.

连接，因为为的中点，所以，同理可得.
又，所以平面，
因为平面，所以.
（Ⅱ）设的中点为，连.
在中，因为是的中点，所以，
又，所以.
在中，因为是的中点，所以，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
【考点】平行关系，垂直关系
【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解答本题，关键在于能利用已知的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，通过严密推理，给出规范的证明.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等.
19、（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】
（1）证明，EF∥平面PAC即得证；（2）证明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得证；（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，证明N点为所找的H点．
【详解】
（1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，
∴，
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，
∴AE∥CG，
∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，
∴AE∥平面PCG，
又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，
∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF，
∴平面AEF∥平面PCG．
（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点，
∴，
∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，
∴FN∥平面PGC，
即N点为所找的H点．

本题主要考查空间平行位置关系的证明，考查立体几何的探究性问题的解决，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20、（1）（2）证明见解析,
【解析】
（1）令n=1，即可求出，计算出，利用错位相减求出。
（2）利用公式 化简即可得证。再利用，求出公差，即可写出通项公式。
【详解】
解：在中，令，得，所以
，①
，②
①②得
化简得
由得：，两式相减整理得：

从而有，相减得：
即
故数列为等差数列，又，故公差
本题主要考查利用错位相减法求等差乘等比数列的前n项的和，属于基础题。
21、 (1) 或. (2)
【解析】
试题分析：
由题意可得圆的方程为．（1）由圆心到直线的距离等于半径可得，解得或，即为所求．（2）由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围．
试题解析：
将点的坐标代入，
可得，
所以圆的方程为，即，
故圆心为，半径.
（1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
整理得，
解得或.
（2）圆的圆心为，则,
由题意可得圆与圆内含或外离，
所以或，
解得或.
所以的取值范围为.