广东省德庆县香山中学2025届高一下数学期末预测试题含解析.doc

广东省德庆县香山中学2025届高一下数学期末预测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．将数列中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的倍，且从第二行起每-行均构成公比为的等比数列，

记数阵中的第列数构成的数列为，为数列的前项和，若，则等于( )
A． B． C． D．
3．我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”（注：“均输”即按比例分配，此处是指五人所得成等差数列；“钱”是古代的一种计量单位），则分得最少的一个得到( )
A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱
4．若，均为锐角，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是
A． B． C． D．
6．若，A点的坐标为，则B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的大小关系为
A． B． C． D．
8．已知向量，，则（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．0
9．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．
C．的值域为R D．的图象关于点对称
10．给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是_____．（填所有正确结论的序号）
①g（x）的最小正周期为4π；
②g（x）在区间[0，]上单调递减；
③g（x）图象的一条对称轴为x；
④g（x）图象的一个对称中心为（，0）．
12．在等比数列中，，则__________．
13．等差数列的前项和为，，，等比数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前15项和.
14．___________.
15．若为等比数列的前n项的和，，则=___________
16．已知，，那么的值是________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列是等差数列，其前n项和为；数列是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2），求正整数n的值．
18．如图所示，在平面四边形中，为正三角形.

（1）在中，角的对边分别为，若，求角的大小；
（2）求面积的最大值.
19．已知函数，.
（1）将化为的形式（，，）并求的最小正周期；
（2）设，若在上的值域为，求实数、的值；
（3）若对任意的和恒成立，求实数取值范围.
20．已知定义在上的函数的图象如图所示

（1）求函数的解析式；
（2）写出函数的单调递增区间
（3）设不相等的实数，，且，求的值.
21．设为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，且数列的前项和为，求证：.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
对于选项A,因为，所以，所以 即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当 时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.
2、C
【解析】
先确定为第11行第2个数，由可得，最后根据从第二行起每一行均构成公比为的等比数列即可得出结论．
【详解】
∵其中每一行项数是上一行项数的倍，第一行有一个数，
前10行共计个数，即为第11行第2个数，
又∵第列数构成的数列为，，
∴当时，，
∴第11行第1个数为108，
∴，
故选：C.
本题主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是为第11行第2个数，属于中档题．
3、B
【解析】
设所成等差数列的首项为，公差为，利用等差数列前项和公式及通项公式列出方程组，求出首项和公差，进而得出答案．
【详解】
由题意五人所分钱成等差数列，设得钱最多的为，则公差.
所以，则.
又，即
则，
分得最少的一个得到.
故选：B
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4、B
【解析】
先利用两角和的余弦公式求出，通过条件可求得，进而可得.
【详解】
解：，
因为，则，
故，
故选：B.
本题考查两角和的正切公式，注意角的范围的确定，是基础题.
5、B
【解析】
根据条件若存在圆C上的点Q,使得为坐标原点),等价即可,求出不等式的解集即可得到的范围
【详解】

圆O外有一点P,圆上有一动点Q,在PQ与圆相切时取得最大值.
如果OP变长,那么可以获得的最大值将变小.可以得知,当,且PQ与圆相切时,,
而当时,Q在圆上任意移动,存在恒成立.
因此满足,就能保证一定存在点Q,使得,
否则,这样的点Q是不存在的，
点在直线上, ,即
,
,
计算得出,,
的取值范围是，
故选B.
考点：正弦定理、直线与圆的位置关系.
6、A
【解析】
根据向量坐标的求解公式可求.
【详解】
设，因为A点的坐标为，所以.
所以，即.
故选：A.
本题主要考查平面向量坐标的运算，侧重考查数学运算的核心素养.
7、A
【解析】
利用作差比较法判断得解.
【详解】
①，
∵，
∴，
故.
②∵，
∴，
所以a＞ab.
综上，
故选A.
本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
8、C
【解析】
根据向量数量积的坐标运算，得到答案.
【详解】
向量，，
所以.
故选：C.
本题考查向量数量积的坐标运算，属于简单题.
9、B
【解析】
利用正切函数的图像和性质对每一个选项逐一分析得解.
【详解】
A．的最小正周期为，所以是的一个周期，所以该选项正确；
B. 所以该选项是错误的；
C. 的值域为R，所以该选项是正确的；
D. 的图象关于点对称,所以该选项是正确的.
故选B
本题主要考查正切函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
10、D
【解析】
试题分析：，知偶函数，，知非奇非偶，知偶函数，，知奇函数.
考点：函数奇偶性定义.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②④．
【解析】
利用函数的图象的变换规律求得的解析式，再利用三角函数的周期性、单调性、图象的对称性，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象，
则函数的最小正周期为，所以①错误的；
当时，，故在区间单调递减，
所以②正确；
当时，，则不是函数的对称轴，所以③错误；
当时，，则是函数的对称中心，所以④正确；
所以结论正确的有②④.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的判定，其中解答熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
12、
【解析】由题设可得，则，应填答案。
13、（1），；（2）125.
【解析】
（1）直接利用等差数列，等比数列的公式得到答案.
（2），前5项为正，后面为负，再计算数列的前15项和.
【详解】
解：（1）联立，
解得，，故，
，联立，
解得，故.
（2）

.
本题考查了等差数列，等比数列，绝对值和，判断数列的正负分界处是解题的关键.
14、
【解析】
先将写成的形式，再根据诱导公式进行求解.
【详解】
由题意得： .
故答案为：.
考查三角函数的诱导公式.
，，,
,.
15、-7
【解析】
设公比为，则，所以．．
16、
【解析】
首先根据题中条件求出角，然后代入即可.
【详解】
由题知，，
所以，
故.
故答案为：.
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；；（2）n的值为1．
【解析】
(1)根据等比数列与等差数列,分别设公比与公差再用基本量法求解即可.
(2)分别利用等差等比数列的求和公式求解得与,再代入整理求解二次方程即可.
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为q,由,,可得．
∵,可得．
故；
设等差数列的公差为d,由,得,
由,得,
∴． 故；
（2）由是等差数列,且,得
由是等比数列,且,得．
可得
．
由,
可得,
整理得：,解得（舍）或．
∴n的值为1．
本题主要考查了等比等差数列的基本量法以及的等差等比数列的求和计算.属于中档题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角的大小;
（2）在中,设,由余弦定理及正弦定理用表示出.再根据三角形面积公式表示出,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值.
【详解】
（1）由题意可得：

∴
整理得
∴
∴
∴
又
∴
（2）在中,设,
由余弦定理得：,
∵为正三角形,
∴,
在中,由正弦定理得：,
∴,
∴,
∵
,
∵,
∴为锐角,,

,
,
∵
∴当时,.
本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.
19、（1），；（2），，或，；（3）.
【解析】
(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；
(2)由正弦函数的图象与性质，讨论的范围，得到的方程组，即可求得的值；
（3）对讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得的范围.
【详解】
(1)由题意，函数

所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
当时，则，所以，
即，令，则，
函数，即，，
当时，在为单调递增函数，
可得且，即，解得；
当时，在为单调递减函数，
可得且，即，解得；
综上可得，或，；
（3）由（2）可知，当时，，
当为奇数时，，即为，即恒成立，
又由，即；
当为偶数时，，即为，即恒成立，
又由，即；
综上可得，实数满足，即实数取值范围.
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题.
20、（1）；（2）；（3）；
【解析】
（1）根据函数的最值可得，周期可得，代入最高点的坐标可得，从而可得解析式；
（2）利用正弦函数的递增区间可解得；
（3）利用在内的解就是和，即可得到结果.
【详解】
（1）由函数的图象可得，
又因为函数的周期，所以，
因为函数的图象经过点，即，
所以，即，
所以.
（2）由，
可得，
可得函数的单调递增区间为：，
（3）因为，所以，
又因为可得，
所以或，
解得或，、
因为且，，
所以.
本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题.
21、（1），（2）见解析
【解析】
(1)根据等差数列的通项公式得到结果；（2）根据第一问得到，由裂项求和得到结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由题意得，
，解得，，
则，.
（2）由得
∴

.
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。