山西省长治市潞州区长治二中2025年数学高一第二学期期末达标检测试题含解析.doc

山西省长治市潞州区长治二中2025年数学高一第二学期期末达标检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
2．不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣4，4） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，+∞） D．
3．一枚骰子连续投两次，则两次向上点数均为1的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆经过点，且圆心为，则圆的方程为
A． B．
C． D．
5．直线的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
7．已知x，y为正实数，则（ ）
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy
C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．10 B．20 C．30 D．60
9．已知数列，对于任意的正整数，，设表示数列的前项和.下列关于的结论，正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
10．如图，正方形中，分别是的中点，若则（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是_____________．
12．下列结论中正确的是______.
（1）将图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；
（2）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，再将图像向左平移个单位，得到的图像；
（3）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，再将图像向左平移个单位，得到的图像；
（4）将图像上所有点的横坐标变为原来的倍，再将图像向左平移个单位，得到的图像；
（5）将图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；
13．已知，则的最小值为_______．
14．设向量，，且，则______．
15．已知，则______．
16．等差数列满足，则其公差为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，.

（1）①证明：；
②证明：存在点P使得.并求出P的坐标；
（2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.
18．已知向量（cosx+sinx，1），（sinx，），函数．
（1）若f（θ）＝3且θ∈（0，π），求θ；
（2）求函数f（x）的最小正周期T及单调递增区间．
19．甲，乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量的数据为：甲：99，100，98，100，100，103 乙：99，100, 102,　99，100 ，100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
20．已知函数.
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)求在上的单调区间
21．已知向量，其中，记函数，已知的最小正周期为.
(1)求；
(2)当时，试求函数的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应
的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
【详解】
满足约束条件的平面区域如下图所示：
作直线
把直线向上平移可得过点时最小
当，时，取最大值 1，
故答案为 1．

本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最
优解点的坐标是解答本题的关键．
2、A
【解析】
根据二次函数的性质求解．
【详解】
不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则，∴．
故选A．
本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解．
3、D
【解析】
连续投两次骰子共有36种，求出满足情况的个数，即可求解.
【详解】
一枚骰子投一次，向上的点数有6种，则连续投两次骰子共有36种，
两次向上点数均为1的有1种情况，概率为.
故选:D.
本题考查古典概型的概率，属于基础题.
4、D
【解析】
先计算圆半径，然后得到圆方程.
【详解】
因为圆经过，且圆心为
所以圆的半径为，
则圆的方程为.
故答案选D
本题考查了圆方程，先计算半径是解题的关键.
5、B
【解析】
由直线方程,可知直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
又，所以，
故选．
6、B
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】

画出约束条件，表示的可行域，如图，
由可得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
最大值为，故选B.
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7、D
【解析】
因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），
所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，
故选D．
8、B
【解析】
由三视图可知几何体为四棱锥，利用四棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
由三视图可知，该几何体为底面为长为，宽为的长方形，高为的四棱锥
四棱锥体积
本题正确选项：
本题考查根据三视图求解几何体体积的问题，关键是能够通过三视图将几何体还原为四棱锥，从而利用棱锥体积公式来进行求解.
9、B
【解析】
根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当时，，再由极限的运算法则，即可得出结果.
【详解】
因为数列，对于任意的正整数，，表示数列的前项和，
所以，，，...… ，
所以当时，
，
因此.
故选：B
本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型.
10、D
【解析】
试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以
又，所以，即.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先找出线面角，运用余弦定理进行求解
【详解】

连接交于点，取中点，连接，则，连接
为异面直线与所成角
在中，，
,
同理可得,
,
异面直线与所成角的余弦值是
故答案为
本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．
12、（1）（3）
【解析】
根据三角函数图像伸缩变换与平移变换的原则，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
（1）将图像向左平移个单位，得到的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；（1）正确；
（2）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（2）错；
（3）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（3）正确；
（4）将图像上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（4）错；
（5）将图像向左平移个单位，得到的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；（5）错；
故答案为（1）（3）
本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.
13、
【解析】
运用基本不等式求出结果.
【详解】
因为，所以，，所以，所以最小值为
本题考查了基本不等式的运用求最小值，需要满足一正二定三相等.
14、
【解析】
根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．
【详解】
∵；
∴；
∴x＝﹣1；
故答案为﹣1．
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．
15、
【解析】
由题意得出，然后在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.
【详解】
由题意得出.
故答案为：.
本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
首先根据等差数列的性质得到，再根据即可得到公差的值.
【详解】
，解得.
，所以.
故答案为：
本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①见解析；②见解析，；（2）.
【解析】
（1）①利用夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，根据，可得，四边形外接圆的圆心为的中点，然后求出点的坐标；
（2）根据条件可得，然后设的坐标为，根据，可得的坐标．
【详解】
（1）①，，，，
，，，，
，
，
；
②由知，点为四边形外接圆的圆心，
，，，
，四边形外接圆的圆心为的中点，
点的坐标为；
（2）由两点间的距离公式可得，，，，
过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，
，
设的坐标为，则，，
，，
点的坐标为．
本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
18、（1）θ（2）最小正周期为π；单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z
【解析】
（1）计算平面向量的数量积得出函数f（x）的解析式，求出f（θ）＝3时θ的值；
（2）根据函数f（x）的解析式，求出它的最小正周期和单调递增区间．
【详解】
（1）向量（cosx+sinx，1），（sinx，），
函数
＝sinx（cosx+sinx）
sinxcosx+sin2x
sin2xcos2x+2
＝sin（2x）+2，
f（θ）＝3时，sin（2θ）＝1，
解得2θ2kπ，k∈Z，
即θkπ，k∈Z；
又θ∈（0，π），所以θ；
（2）函数f（x）＝sin（2x）+2，
它的最小正周期为Tπ；
令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
kπ≤xkπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
19、（1）；，，；
（2）乙机床加工零件的质量更稳定．
【解析】
（1）根据题中数据，结合平均数与方差的公式，即可得出结果；
（2）根据（1）的结果，结合平均数与方差的意义，即可得出结果.
【详解】
（1）由题中数据可得：；
，
所以，；
（2）两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
本题主要考查平均数与方差，熟记公式即可，属于常考题型.
20、（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为；
（2）f(x)在上单调递增；在上单调递减．
【解析】
（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值．
（2）根据，利用正弦函数的单调性，即可求得在上的单调区间．
【详解】
解：（1）函数
，
即
故函数的周期为，最大值为．
（2）当 时，，
故当时，即时，为增函数；
当时，即时，为减函数；
即函数在上单调递增；在上单调递减．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．
21、（1）1（2）
【解析】
（1）先根据向量数列积得关系式，再根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期性得；（2）先根据x取值范围得范围，再根据正弦函数性质确定值域.
【详解】
（1）
（2）由（1）知，，，所以函数的值域.
本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力.