柳州铁一中学2024-2025学年高一下数学期末调研模拟试题含解析.doc

柳州铁一中学2024-2025学年高一下数学期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．已知实数满足且，则下列选项中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．9
5．函数的部分图象如图，则（）（ ）

A．0 B． C． D．6
6．已知向量，，若，共线，则实数（ ）
A． B． C． D．6
7．点关于直线对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前项的和为，若，则等于（ ）
A．81 B．90 C．99 D．180
9．若、为异面直线，直线，则与的位置关系是（　　）
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
10．已知直线与平行，则等于( )
A．或 B．或 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一艘海轮从出发，沿北偏东方向航行后到达海岛，然后从出发沿北偏东方向航行后到达海岛，如果下次直接从沿北偏东方向到达，则______.
12．已知是内的一点，，，则 _______；若，则_______.
13．在中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______.
14．设向量，，______.
15．若实数满足，则取值范围是____________。
16．记为数列的前项和.若，则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，，函数.
（1）若且，求；
（2）求函数的最小正周期T及单调递增区间.
18．如图，在直角梯形中，，，，，记，.

（1）用，表示和；
（2）求的值.
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
20．某厂生产产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投人成本万元.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润万元关于千件的函数关系式；
（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？
21．已知公差为正数的等差数列，，且成等比数列.
（1）求；
（2）若，求数列的前项的和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.
【详解】
由题意知： ，则

设向量与向量的夹角为
则
本题正确选项：
本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.
2、C
【解析】
由平面向量数量积运算可得，即，得解.
【详解】
解：在中，，则，
即，则为钝角，所以为钝角三角形，
故选：C.
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.
3、D
【解析】
由题设条件可以得到，从而可判断A，B中的不等式都是正确的，再把题设变形后可得，从而C中的不等式也是成立的，当，D中的不等式不成立，而时，它又是成立的，故可得正确选项.
【详解】
因为且，故，所以，故A正确；
又，故，故B正确；
而，故，故C正确；
当时，，当时，有，故不一定成立，
综上，选D.
本题考查不等式的性质，属于基础题.
4、B
【解析】
根据条件可知，，，从而得出，这样便可得出的最小值．
【详解】
；
，且，；
；
，当且仅当时等号成立；
；
的最小值为．
故选：．
考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．
5、D
【解析】
先利用正切函数求出A，B两点的坐标，进而求出与 的坐标，再代入平面向量数量积的运算公式即可求解．
【详解】
因为y＝tan（x）＝0⇒xkπ⇒x＝4k+2，由图得x＝2；故A（2，0）
由y＝tan（x）＝1⇒xk⇒x＝4k+3，由图得x＝3，故B（3，1）
所以（5，1），（1，1）．
∴（）5×1+1×1＝1．
故选D．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查了利用正切函数值求角的运算，解决本题的关键在于求出A，B两点的坐标，属于基础题．
6、C
【解析】
利用向量平行的性质直接求解．
【详解】
向量，，共线，
，
解得实数．
故选：．
本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7、A
【解析】
设点关于直线对称的点为，根据斜率关系和中点坐标公式，列出方程组，即可求解.
【详解】
由题意，设点关于直线对称的点为，
则，解得，
即点关于直线对称的点为，故选A.
本题主要考查了点关于直线的对称点的求解，其中解答中熟记点关于直线的对称点的解法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8、B
【解析】
根据已知得到的值，利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和的性质，求得的值.
【详解】
依题意，所以，故选B.
本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.
9、D
【解析】
解：因为为异面直线，直线，则与的位置关系是异面或相交，选D
10、C
【解析】
由题意可知
且，
解得．
故选．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先根据余弦定理求出，在根据正弦定理求出，即可求出
【详解】
有题知

.
所以.
在中，，
即，解得.
所以，
故答案为：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.
12、
【解析】
对式子两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子两边分别与向量，进行数量积运算，得到关于的方程组，解方程组即可得答案.
【详解】
∵，
∴；
∵，
∴
解得：，∴.
故答案为：；.
本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.
13、
【解析】
在中，延长交于，由重心的性质，找到、和的关系，在和中利用余弦定理分别表示出和，求出，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式和的范围求解即可.
【详解】
画出，连接，并延长交于，
因为是的重心，所以为中点，
因为，所以，
由重心的性质，，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得
，
因为，所以，
又，
所以，
在中，由余弦定理和基本不等式，
，
又，所以，
故.

故答案为：
本题主要考查三角形重心的性质、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查学生的分析转化能力，属于中档题.
14、
【解析】
利用向量夹角的坐标公式即可计算.
【详解】
.
本题主要考查了向量夹角公式的坐标运算，属于容易题.
15、；
【解析】
利用三角换元，设，；利用辅助角公式将化为，根据三角函数值域求得结果.
【详解】
可设，，

本题正确结果：
本题考查利用三角换元法求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数值域的求解问题.
16、
【解析】
由和的关系，结合等比数列的定义，即可得出通项公式.
【详解】
当时，
当时，
即
则数列是首项为，公比为的等比数列

故答案为：
本题主要考查了已知求，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）最小正周期，的单调递增区间为：.
【解析】
（1）计算平面向量的数量积得出函数的解析式，求出时的值；
（2）根据的解析式，求出它的最小正周期T及单调递增区间.
【详解】
函数

时，，解得
又；
（2）函数
它的最小正周期：
令

故：的单调递增区间为：
本题考查了正弦型函数的性质，考查了学生综合分析，转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.
18、（1），；（2）1
【解析】
（1）根据向量的线性运算可直接求解得到结果；
（2）将所求数量积转化为，根据数量积运算性质求得结果.
【详解】
（1）
，
（2）由（1）得：
本题考查利用基底表示向量、平面向量数量积的求解问题；关键是能够熟练掌握平面向量的线性运算和数量积运算的性质.
19、 (Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a<c，故．
因此，
所以，
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
20、（1）（2）100
【解析】
（1）由于每生产千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当时和当时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.
（2）根据（1）的利润函数为，当时，用二次函数法求最大值；当时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x的取值即为此时最大利润时的产量.
【详解】
（1）根据题意
当时， ，
当时， ，
综上： .
（2）由（1）知，
当时， ，
当 时，的最大值为950万.
当时， ，
当且仅当即时取等号，的最大值为1000万.
综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.
本题主要考查了分段函数的实际应用，还考查了建模，运算求解的能力，属于骠题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的通项公式，进一步利用错位相减法求出数列的和．
【详解】
（1）设公差为，由，，成等比数列，
得，结合，解得，或（舍去），
∴.
（2）∴，
∴，①
，②，
由①②可得：

∴.
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．