2025年陕西省西安市高新一中、交大附中、师大附中高一数学第二学期期末复习检测试题含解析.doc

2025年陕西省西安市高新一中、交大附中、师大附中高一数学第二学期期末复习检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，边，，分别是角，，的对边，且满足，若，则 的值为
A． B． C． D．
2．已知是等差数列的前项和，.若对恒成立，则正整数构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
3．数列的通项，其前项之和为，则在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A．-10 B．-9 C．10 D．9
4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢+矢).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，为的三等分点，则( )
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，则的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣4，4） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，+∞） D．
8．若两个球的半径之比为，则这两球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
9．在边长为1的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.
12．直线的倾斜角为__________．
13．涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取个样本时，先将个同学按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读（注：如表为随机数表的第行和第行），则选出的第个个体是______.

14．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_______.
15．已知数列的前项和是，且，则______.（写出两个即可）
16．某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是___

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查，得到每月利润（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：

1
4
7
12

229
244
241
196
（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述与的变化关系，并说明理由，，，；
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.
18．已知，函数（其中），且图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，并过点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间.
19．已知直线l的方程为.
(1)求过点且与直线l垂直的直线方程；
(2)求直线与的交点，且求这个点到直线l的距离.
20．函数在同一个周期内，当时，取最大值1，当时，取最小值-1．
（1）求函数的单调递减区间．
（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和．
21．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最值以及相应的x的取值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值
【详解】
在中，
由正弦定理可得
化为：
即
在中，，故
,
可得，即
故选
本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。
2、A
【解析】
先分析出，即得k的值.
【详解】
因为
因为
所以.
所以,
所以正整数构成的集合是.
故选A
本题主要考查等差数列前n项和的最小值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3、B
【解析】
试题分析：因为数列的通项公式为，所以其前项和为
，令，所以直线方程为，令，解得，即直线在轴上的截距为，故选B．
考点：数列求和及直线方程．
4、C
【解析】
首先根据图形计算出矢，弦，再带入弧田面积公式即可.
【详解】
如图所示：

因为，，为等边三角形.
所以，矢，弦.
.
故选：C
本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题.
5、B
【解析】
试题分析：因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以，故选B.
考点：平面向量的数量积.
【一题多解】若，则，
即有，为边的三等分点，则
,故选B．
6、B
【解析】
利用直线的方程过点分别与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，
可得：，，结合基本不等式的性质即可得出.
【详解】
在平面直角坐标系中，过点的直线
与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，且构成，
所以，直线斜率一定存在，
设，，
：，，
则有： ，，
解得，当且仅当：，即时，等号成立，
的面积为：.
故选：B
本题考查了直线的截距式方程、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
7、A
【解析】
根据二次函数的性质求解．
【详解】
不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则，∴．
故选A．
本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解．
8、C
【解析】
根据球的体积公式可知两球体积比为，进而得到结果.
【详解】
由球的体积公式知：两球的体积之比
故选：
本题考查球的体积公式的应用，属于基础题.
9、D
【解析】
根据直线与平面没有公共点可知平面.将截面补全后,可确定点的位置,进而求得三角形面积的最小值.
【详解】
由题意,,分别是棱,,的中点,补全截面为,如下图所示:

因为直线与平面没有公共点
所以平面,即平面,平面平面
此时位于底面对角线上,且当与底面中心重合时,取得最小值
此时三角形的面积最小

故选:D
本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题.
10、D
【解析】
根据点到直线的距离公式列式求解参数即可.
【详解】
由题,,因为,故.
故选：D
本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
设此等差数列为{an}，公差为d，则
（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，
故答案为．
12、
【解析】
试题分析：由直线方程可知斜率
考点：直线倾斜角与斜率
13、.
【解析】
根据随机数法列出前个个体的编号，即可得出答案.
【详解】
由随机数法可知，前个个体的编号依次为、、、、、、，
因此，第个个体是，故答案为.
本题考查随机数法读取样本个体编号，读取时要把握两个原则：
（1）看样本编号最大数为几位数，读取时就几个数连着一起取；
（2）不在编号范围内的号码要去掉，重复的只能取第一次.
14、
【解析】
联立直线的方程和圆的方程，求得两点的坐标，根据点斜式求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得的长.
【详解】
由解得，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，令，得，所以.
故答案为4
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.
15、或
【解析】
利用已知求的公式，即可算出结果．
【详解】
（1）当，得，∴，∴．
（2）当时，，两式作差得，，化简得，
∴或，
即（常数）或，
当（常数）时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以；
当时，数列是以1为首项，﹣1为公比的等比数列，所以．
本题主要考查利用与的关系公式，即， 求的方法应用．
16、6
【解析】
先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.
【详解】
几何体如图所示：

去掉的三棱柱的高为2，底面面积是正方体底面积的 ，
所以三棱柱的体积：
所以几何体的体积：
本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图形，再根据三视图“切”去多余部分.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）,理由见解析；（2）第5个月，利润最大为245.
【解析】
（1）根据题中数据，即可直接判断出结果；
（2）将题中，代入，求出参数，根据二次函数的性质，以及自变量的范围，即可得出结果.
【详解】
（1）由题目中的数据知，描述每月利润（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数进行描述；
（2）将，代入，解得，，
∴，，，
，∴，万元.
本题主要考查二次函数的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据向量的数量积得，结合，即可求解；
（2）令即可求得增区间.
【详解】
（1）由题

图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，并过点
所以，解得，
，解得：，
所以；
（2）令

函数的单调增区间为.
此题考查根据平面向量的数量积，求函数解析式，根据三角函数的顶点坐标和曲线上的点的坐标求参数，利用整体代入法求单调区间.
19、（1）（2）1
【解析】
(1)与l垂直的直线方程可设为 ，再将点 代入方程可得；(2)先求两直线的交点，再用点到直线的距离公式可得点到直线l的距离．
【详解】
解：(1)设与直线垂直的直线方程为,把代入，得，解得,
∴所求直线方程为.
(2)解方程组得∴直线与的交点为,点到直线的距离.
本题考查两直线垂直时方程的求法和点到直线的距离公式．
20、（1），；（2）．
【解析】
（1）先求出周期得，由最高点坐标可求得，然后由正弦函数的单调性得结论；
（2）由直线与的图象交点的对称性可得．
【详解】
（1）由题意，∴，
又，，，由得，
∴，
令得，
∴单调减区间是，；
（2）在含有三个周期，如图，的图象与在上有六个交点，前面两个交点关于直线对称，中间两个关于直线对称，最后两个关于直线对称，
∴所求六个根的和为．

本题考查由三角函数的性质求解析式，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的分布问题．函数零点与方程根的分布问题可用数形结合思想，把方程的根转化为函数图象与直线交点的横坐标，再利用对称性求解．
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）时，取得最大值2；时，取得最小值.
【解析】
（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用x∈[，]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．
【详解】
(Ⅰ)因为函数f（x）＝4cosxsin（x）1．
化简可得：f（x）＝4cosxsinxcos4cos2xsin1
sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x＝2sin（2x）
所以的最小正周期为．
(Ⅱ)因为，所以．
当，即时，f（x）取得最大值2；
当，即时，f（x）取得最小值-1．
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．