2024-2025学年湖南省岳阳市一中高一数学第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年湖南省岳阳市一中高一数学第二学期期末质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，角所对应的边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2．已知等差数列{an}的前n项和为，满足S5=S9，且a1＞0，则Sn中最大的是（　　）
A． B． C． D．
3．将边长为2的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球表面积为（）
A． B． C． D．
4．已知数列，对于任意的正整数，，设表示数列的前项和.下列关于的结论，正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
5．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
6．甲、乙两名篮球运动员最近五场比赛的得分如茎叶图所示，则（ ）

A．甲的中位数和平均数都比乙高
B．甲的中位数和平均数都比乙低
C．甲的中位数比乙的中位数高，但平均数比乙的平均数低
D．甲的中位数比乙的中位数低，但平均数比乙的平均数高
7．若直线和直线互相垂直，则( )
A．或 B．3或1 C．或1 D．或3
8．向量，，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．10
9．如图是函数的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是
①函数的最小正周期为
②函数的振幅为
③函数的一条对称轴方程为
④函数的单调递增区间是
⑤函数的解析式为

A．③⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③
10．已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图所示为函数的部分图像，其中、分别是函数图像的最高点和最低点，且，那么________．

12．一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是 .
13．用列举法表示集合__________．
14．如图，在圆心角为，半径为2的扇形AOB中任取一点P，则的概率为________.

15．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．
16．设等差数列的前项和为，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，，若，求的周长.
18．已知圆经过点.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）若圆与圆无公共点，求的取值范围.
19．在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为人，非示范性高中参加考试学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机抽取人，作检测成绩数据分析.

（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；
20．已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求
（1）过点A且平行于BC边的直线的方程；
（2）BC边的中线所在直线的方程．
21．已知.
（1）求；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由正弦定理进行边化角，再由二倍角公式可得，则或，
所以或，即可判断三角形的形状.
【详解】
由正弦定理得，则，
因此在中，或，即或.
故选：A
本题考查利用正弦定理进行边角互化，判断三角形形状，属于基础题.
2、B
【解析】
由S5=S9可得a7+a8=0，再结合首项即可判断Sn最大值
【详解】
依题意，由S5=S9，a1＞0，所以数列{an}为递减数列，
且S9-S5=a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）=0，即a7+a8=0，所以a7＞0，a8＜0，
所以则Sn中最大的是S7，
故选：B．
本题考查等差数列Sn最值的判断，属于基础题
3、C
【解析】
根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥的外接球直径，从而求出外接球的表面积，得到答案.
【详解】
由题意，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，
如图所示，
则,
三棱锥的外接球直径为，即半径为，
外接球的表面积为，故选C.

本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及外接球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.
4、B
【解析】
根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当时，，再由极限的运算法则，即可得出结果.
【详解】
因为数列，对于任意的正整数，，表示数列的前项和，
所以，，，...… ，
所以当时，
，
因此.
故选：B
本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型.
5、D
【解析】
A项，可能相交或异面,当时，存在，，故A项错误；
B项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B项错误；
C项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故C项错误；
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.
本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.
6、B
【解析】
分别计算出两组数据的中位数和平均数即可得出选项.
【详解】
根据题意：甲的平均数为：，中位数为29，
乙的平均数为：，中位数为30，
所以甲的中位数和平均数都比乙低.
故选：B
此题考查根据茎叶图表示的数据分别辨析平均数和中位数的大小关系，分别计算求解即可得出答案.
7、C
【解析】
直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.
【详解】
因为直线和直线互相垂直，
所以，
解方程可得或，故选C.
本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
8、B
【解析】
先由数量积为，得出，求出的坐标，利用模长的坐标公式求解即可.
【详解】
由题意可得 ，则
则
故选：B
本题主要考查了向量模的坐标表示以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.
9、A
【解析】
根据图象求出函数解析式，根据三角函数型函数的性质逐一判定．
【详解】
由图象可知，
，
最大值为，
，

因为图象过点，
，由，

即可判定错，正确，由得对称轴方程为，，故正确；由，，，函数的单调递增区间是，故错；
故选：A
本题主要考查了根据图象求正弦型函数函数的解析式，及正弦型函数的性质，属于中档题．
10、B
【解析】
令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a的取值范围.
【详解】
令g(x)=0得f(x)=a,
函数f(x)的图像如图所示，

当直线y=a在x轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a有四个零点，
所以0＜a＜1.
故选：B
本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由图可知：，因为，由周期公式得到，结合以及诱导公式即可求解.
【详解】
由图可知：，因为
所以 ，即
由题意可知：，即

故答案为：

本题主要考查了正弦型函数的图像的性质以及求值，关键是从图像得出周期，最值等，属于基础题.
12、5
【解析】
设一部门抽取的员工人数为x,则.
13、
【解析】
先将的表示形式求解出来，然后根据范围求出的可取值.
【详解】
因为，所以，又因为，所以，此时或，则可得集合：.
本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.
14、
【解析】
根据题意，建立坐标系，求出圆心角扇形区域的面积，进而设，由数量积的计算公式可得满足的区域，求出其面积，代入几何概率的计算公式即可求解．
【详解】

根据题意，建立如图的坐标系，则
则扇形的面积为
设
若，则有，即；
则满足的区域为如图的阴影区域，
直线与弧的交点为，易得的坐标为，
则阴影区域的面积为
故的概率
故答案为：
本题考查几何概型，涉及数量积的计算，属于综合题．
15、
【解析】
试题分析：由题意可得，∴，解得 0＜q＜1
考点：等比数列的性质
16、
【解析】
设等差数列的公差为，由，可求出的值，结合，可以求出的值，利用等差数列的通项公式，可得，再利用，可以求出的值.
【详解】
设等差数列的公差为，因为，所以，又因为，所以，
而.
本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1); (2)
【解析】
(1)根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将化简为，然后利用三角函数的性质，即可求得的单调减区间；
(2)由(1)及可求得，由可得，再结合余弦定理即可求得，进而可得的周长.
【详解】
解：(1)

所以函数的单调递减区间为：
(2)，，
又因在中，,
,
设的三个内角所对的边分别为，
又，且
，，则，
所以的周长为.
本题考查平面向量的数量积公式，三角函数的二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质，以及利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查理解辨析能力及求解运算能力，属于中档题.
18、 (1) 或. (2)
【解析】
试题分析：
由题意可得圆的方程为．（1）由圆心到直线的距离等于半径可得，解得或，即为所求．（2）由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围．
试题解析：
将点的坐标代入，
可得，
所以圆的方程为，即，
故圆心为，半径.
（1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
整理得，
解得或.
（2）圆的圆心为，则,
由题意可得圆与圆内含或外离，
所以或，
解得或.
所以的取值范围为.
19、（1）见解析；（2）92.4
【解析】
（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数；
（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学成绩的平均分．
【详解】
（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，
由题意，从示范性高中抽取人，
从非师范性高中抽取人；
（2）由频率分布直方图估算样本平均分为

推测估计本次检测全市学生数学平均分为
本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题．
20、（1）3x﹣4y﹣19＝1（2）7x﹣y﹣11＝1
【解析】
（1）先求出BC的斜率，再用点斜式求出过点A且平行于BC边的直线方程；
（2）先求出BC的中点为D的坐标，再用两点式求出直线AD的方程．
【详解】
（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，1），故BC的斜率为，
故过点A且平行于BC边的直线的方程为y+4（x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝1．
（2）BC的中点为D（2，3），由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为，
即7x﹣y﹣11＝1．
本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．
21、（1）（2）
【解析】
（1）根据三角函数的基本关系式，可得，再结合正切的倍角公式，即可求解；
（2）由（1）知，结合三角函数的基本关系式，即可求解，得到答案.
【详解】
（1）由，根据三角函数的基本关系式，可得，
所以.
（2）由（1）知，又由.
本题主要考查了三角函数的基本关系式和正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.