2025届江苏省连云港市赣榆区高一数学第二学期期末经典试题含解析.doc

2025届江苏省连云港市赣榆区高一数学第二学期期末经典试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．矩形ABCD中，，，则实数（ ）
A．-16 B．-6 C．4 D．
3．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f：R+→R+满足：对任意三个正数x，y，z，均有f（）.设a，b，c是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（ ）
A．若a，b，c是等差数列，则f（a），f（b），f（c）一定是等差数列
B．若a，b，c是等差数列，则f（），f（），f（）一定是等差数列
C．若a，b，c是等比数列，则f（a），f（b），f（c）一定是等比数列
D．若a，b，c是等比数列，则f（），f（），f（）一定是等比数列
5．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率满足( )
A．或 B．或 C． D．
7．已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
9．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
10．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为(　　)
A．①随机抽样法，②系统抽样法
B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最小正周期是________．
12．若（），则_______（结果用反三角函数值表示）．
13．数列中，已知，50为第________项.
14．如图，，分别为的中线和角平分线，点P是与的交点，若，，则的面积为______.

15．的值为__________．
16．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为_____．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在等差数列中，已知,.
（I）求数列的通项公式；
（II）求.
18．已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.
19．已知函数，，且是R上的奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）判断函数）的单调性（不必说明理由），并求不等式的解集；
（3）若不等式对任意的恒成立，求实数b的取值范围.
20．已知数列满足：，，.
（1）求、、；
（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（3）求和.
21．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据平面向量的数量积,计算模长即可.
【详解】
因为向量,,
则,
,
故选:D.
本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题,是基础题.
2、B
【解析】
根据题意即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出实数．
【详解】
据题意知，,
,
．
故选：．
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算,属于容易题．
3、A
【解析】
根据向量的数量积结合基本不等式即可．
【详解】
由题意得，因为，为正实数，则

当且仅当时取等．所以选择A
本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足一正二定三相等．属于中等题
4、B
【解析】
令，，，若是等差数列，计算得，进而可得结论.
【详解】
由题意，，
令，，，若是等差数列，则
所以，
即，故，，成等差数列.
若是等比数列，，，与，，既不能成等差数列又不等成等比数列.
故选：B.
本题考查抽象函数的解析式，等差数列的等差中项的性质，属于中档题.
5、A
【解析】
先分别求出集合，，由此能求出．
【详解】
集合，，1，，
或，
，，．
故选：．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6、A
【解析】
画出三点的图像，根据的斜率，求得直线斜率的取值范围.
【详解】
如图所示，过点作直线轴交线段于点，作由直线①直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为钝角，斜率的范围是.②直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为锐角，斜率的范围是.因为，，所以直线的斜率满足或.
故选:A.

本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
7、B
【解析】
令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a的取值范围.
【详解】
令g(x)=0得f(x)=a,
函数f(x)的图像如图所示，

当直线y=a在x轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a有四个零点，
所以0＜a＜1.
故选：B
本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
8、A
【解析】
判断每个函数在上的单调性即可.
【详解】
解：在 上单调递增，
，和在上都是单调递减.
故选：A.
考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性.
9、D
【解析】
根据三角函数图象的平移变换可直接得到图象变换的过程.
【详解】
因为，
所以向右平移个单位即可得到的图象.
故选：D.
本题考查三角函数图象的平移变换，难度较易.注意左右平移时对应的规律：左加右减.
10、B
【解析】
①由于社会购买力与收入有关系，所以应采用分层抽样法；②由于人数少，可以采用简单随机抽样法
要完成下列二项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中，选出100户调查社会
解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响
而社区中各个家庭收入差别明显
①用分层抽样法，
而从某中学的15名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中
个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，
∴②用随机抽样法
故选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据周期公式即可求解.
【详解】
函数的最小正周期
故答案为：
本题主要考查了正弦型函数的周期，属于基础题.
12、
【解析】
根据反三角函数以及的取值范围，求得的值.
【详解】
由于，所以，所以.
故答案为：
本小题主要考查已知三角函数值求角，考查反三角函数，属于基础题.
13、4
【解析】
方程变为，设，解关于的二次方程可求得。
【详解】
，则，即
设，则，有或
取得，，所以是第4项。
发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。
14、
【解析】
设,,求点的坐标，运用换元法，求直线方程，再解出交点的坐标，再利用向量数量积运算求出，最后结合三角形面积公式求解即可.
【详解】
解：由，可设,,
则，
设，则 ，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、方程解得，
则，，
可得，
解得：，
即，
即，
所以，
故答案为：.

本题考查了向量的数量积运算，重点考查了两直线的交点坐标及三角形面积公式，属中档题.
15、
【解析】
直接利用诱导公式化简求值.
【详解】
,
故答案为:.
本题考查诱导公式的应用,属于基础题.
16、
【解析】
由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】
根据图形，
因为都是直角三角形，
,
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）将已知条件转为关于首项和公差的方程组，解方程组求出，进而可求通项公式；（II）由已知可得 构成首项为,公差为的等差数列，利用等差数列前n项和公式计算即可.
【详解】
（I）因为是等差数列，,所以
解得.则,.
（II） 构成首项为,公差为的等差数列.
则
本题考查等差数列通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题.
18、的最大值为.
【解析】
试题分析：利用二倍角公式，利用换元法，将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出的最大值，但是在对时的情况下，主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论，再将问题转化为的条件下，求的最大值，
试题解析：由题意知，
令，，则当，恒成立，开口向上，
①当时，，不满足，恒成立，
②当时，则必有（1）
当对称轴时，即，也即时，有，
则，，则，当，时，.
当对称轴时，即，也即时，
则必有，即，又由（1）知，
则由于，故只需成立即可，
问题转化为的条件下，求的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求的最大值.
法一：（三角换元）把条件配方得：，
，所以，
；
法二：（导数）
令则即求函数的导数,椭圆的上半部分

；
法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：

，当且仅当,即及时等号成立.即当时，最大值为2.
综上可知.
考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式
19、（1）0（2），（3）
【解析】
（1）根据奇函数的性质可得．，由此求得值（2）函数在上单调递增，根据单调性不等式即可（3）不等式．．分离参数即可．
【详解】
（1），
是上的奇函数．
．
即
得：．
即，
得：．
，
．
（2）由（1）得．
函数在上单调递增，
由不等式
得不等式．
所以，
解得
不等式的解集为，．
（3）由不等式在上恒成立，
可得，
即．
当时，，
当，时，．
令，
．

故实数b的取值范围.
本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题．
20、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）直接带入递推公式即可
（2）证明等于一个常数即可。
（3）根据（2）的结果即可求出，从而求出。
【详解】
（1）， ，
可得；
，；
（2）证明：
，
可得数列为公比为，首项为等比数列，
即；
（3）由（2）可得，

．
本题主要考查了根据通项求数列中的某一项，以及证明是等比数列和求前偶数项和的问题，在这里主要用了分组求和的方法。
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据和正弦定理余弦定理求得.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把化成，再利用三角函数的图像和性质求解.
【详解】
（1）因为，所以，
由正弦定理化角为边可得，
即，由余弦定理可得，又，所以．
（2）由（1）可得，设的外接圆的半径为，
因为，，所以，
则
，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，故的取值范围为．
(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.