广东省湛江市2025年高一数学第二学期期末经典试题含解析.doc

广东省湛江市2025年高一数学第二学期期末经典试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比( )
A． B． C．或 D．以上都不对
2．设集合,则（ ）
A． B． C． D．
3．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（ ）
A．明天该地区有的地方降水，有的地方不降水
B．明天该地区有的时间降水，其他时间不降水
C．明天该地区降水的可能性为
D．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水
4．已知向量，且，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
5．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是

A．
B．
C．三棱锥的体积为定值
D．
6．函数，是
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
7．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
8．一个长方体长、宽分别为5，4，且该长方体的外接球的表面积为，则该长方体的表面积为（）
A．47 B．60 C．94 D．198
9．将函数的图像左移个单位，则所得到的图象的解析式为
A． B．
C． D．
10．已知直线，平面，且，下列条件中能推出的是（ ）
A． B． C． D．与相交
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将角度化为弧度：________.
12．若直线与圆相切，则________.
13．等差数列中，则此数列的前项和 _________.
14．某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%，如果存款到期不取出继续留存于银行，银行自
动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄，
某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为
________元.（精确到1元）
15．函数的定义域记作集合，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数，，，），记骰子向上的点数为，则事件“”的概率为________.
16．等差数列前项和为，已知，，则_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列满足：，，.
（1）求、、；
（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（3）求和.
18．设数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
20．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若， 的解集为，求的最小値.
21．如图所示，已知三棱锥的侧棱长都为1，底面ABC是边长为的正三角形．

（1）求三棱锥的表面积；
（2）求三棱锥的体积．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据和可得，解得结果即可.
【详解】
由得，
所以，
所以，
所以，
解得或
故选：C.
本题考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，属于基础题.
2、B
【解析】
试题分析：由已知得，，故，选B．
考点：集合的运算．
3、C
【解析】
预报“明天降水的概率为”，属于随机事件，可能下雨，也可能不下雨，即可得到答案.
【详解】
由题意，天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，
这是指明天下雨的可能性是，故选C.
本题主要考查了随机事件的概念及其概率，其中正确理解随机事件的概率的概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4、A
【解析】
由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为
，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解．
【详解】
由题意可得 ，即 ．
∴，
故选A．
本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切．
5、D
【解析】
可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D。
6、A
【解析】
判断函数函数，的奇偶性，求出其周期即可得到结论.
【详解】
设 则 故函数函数，是奇函数，由 故函数，是最小正周期为的奇函数.
故选A.
本题考查正弦函数的奇偶性和周期性，属基础题.
7、B
【解析】
直角利用待定系数法可得答案.
【详解】
因为，所以，因为，所以，所以.
本题主要考查等差数列的基本量的相关计算，难度不大.
8、C
【解析】
根据球的表面积公式求得半径，利用等于体对角线长度的一半可构造方程求出长方体的高，进而根据长方体表面积公式可求得结果.
【详解】
设长方体高为，外接球半径为，则，解得：
长方体外接球半径为其体对角线长度的一半
解得：
长方体表面积
本题正确选项：
本题考查与外接球有关的长方体的表面积的求解问题，关键是能够明确长方体的外接球半径为其体对角线长度的一半，从而构造方程求出所需的棱长.
9、C
【解析】
由三角函数的图象变换，将函数的图像左移个单位，得到，即可得到函数的解析式.
【详解】
由题意，将函数的图像左移个单位，
可得的图象，
所以得到的函数的解析式为，故选C.
本题主要考查了三角函数的图象变换，其中熟记三角函数的图象变换的规则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
10、C
【解析】
根据线面垂直的性质，逐项判断即可得出结果.
【详解】
A中，若，由，可得；故A不满足题意；
B中，若，由，可得；故B不满足题意；
C中，若，由，可得；故C正确；
D中，若与相交，由，可得异面或平，故D不满足题意.
故选C
本题主要考查线面垂直的性质，熟记线面垂直的性质定理即可，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据角度和弧度的互化公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查角度和弧度的互化公式，属于基础题.
12、1
【解析】
利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，即，由于，所以.
故答案为：
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
13、180
【解析】
由,
,可知.
14、218660
【解析】
20万存款满一年到期后利息有，本息和共，再过一年本息和， 经过5年共有本息元，计算即可求出结果.
【详解】
20万存款满一年到期后利息有，本息和共，再过一年本息和， 经过5年共有本息元,
元.
故填218660.
本题主要考查了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金利率，利率是一年年利率，是存款年数，代入公式计算即可求出本息和，属于中档题.
15、
【解析】
要使函数有意义，则且，即且，即，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为，则，则事件“”的概率为.
16、1
【解析】
首先根据、即可求出和，从而求出。
【详解】
，①
，②
①②得，
，
即，
∴，
即，
∴，
故答案为：1．
本题主要考查了解方程，以及等差数列的性质和前项和。其中等差数列的性质:若则比较常考，需理解掌握。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）直接带入递推公式即可
（2）证明等于一个常数即可。
（3）根据（2）的结果即可求出，从而求出。
【详解】
（1）， ，
可得；
，；
（2）证明：
，
可得数列为公比为，首项为等比数列，
即；
（3）由（2）可得，

．
本题主要考查了根据通项求数列中的某一项，以及证明是等比数列和求前偶数项和的问题，在这里主要用了分组求和的方法。
18、（1）；（2）
【解析】
(1)由，且，
可得
当 也适合，
；
(2)∵

19、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）由得，然后分、、三种情况来解不等式；
（2）由恒成立，由参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），，.
当时，不等式的解集为；
当时，原不等式为，该不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）由题意，当时，恒成立，
即时，恒成立.
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
20、（1）或；（2）最小值为.
【解析】
（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题的根即为，，根据韦达定理可判断，同为正，且，从而利用基本不等式的常数代换求出的最小值.
【详解】
（1）当时，不等式，即为，
可得，
即不等式的解集为或.
（2）由题的根即为，，故，，故，同为正，
则，
当且仅当，等号成立，所以的最小值为.
本题考查一元二次不等式的解法和基本不等式的知识，考查逻辑推理能力和计算能力，属中档题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）分析得到侧面均为等腰直角三角形，再求每一个面的面积即得解；（2）先证明平面SAB，再求几何体体积.
【详解】
（1）如图三棱锥的侧棱长为都为1，底面为正三角形且边长为，
所以侧面均为等腰直角三角形．
又，所以，
又，．

（2）因为侧棱SB，SA，SC互相垂直，平面SAB，
所以平面SAB，
．
本题主要考查线面位置关系的证明，考查面积和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.