2025年云南省昭通市第一中学数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025年云南省昭通市第一中学数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若两个球的半径之比为，则这两球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒

A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC
3．下列结论：
①；
②；
③，；
④，，
其中正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知半圆C：（），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使，则t的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．在等差数列中，若.，则（ ）
A．100 B．90 C．95 D．20
7．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．执行如下图所示的程序框图，若输出的，则输入的的值为（ ）

A． B． C． D．
9．已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，在水平放置的边长为1的正方形中随机撤1000粒豆子，有400粒落到心形阴影部分上，据此估计心形阴影部分的面积为_________.

12．在三棱锥中，，，，作交于，则与平面所成角的正弦值是________.
13．己知为数列的前项和，且，则_____．
14．设函数，则的值为__________．
15．在中，，，是角，，所对应的边，，，如果，则________.
16．在等差数列中，，，则 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知为常数且均不为零，数列的通项公式为并且成等差数列，成等比数列.
（1）求的值；
（2）设是数列前项的和，求使得不等式成立的最小正整数.
18．在中，角的对边分别为，已知，，.
（1）求的值；
（2）求和的值.
19．在等差数列中，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
20．在中，三个内角所对的边分别为，满足.
（1） 求角的大小；
（2） 若，求，的值.（其中）
21．在中，角所对的边分别为.
（1）若为边的中点，求证: ;
（2）若，求面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据球的体积公式可知两球体积比为，进而得到结果.
【详解】
由球的体积公式知：两球的体积之比
故选：
本题考查球的体积公式的应用，属于基础题.
2、C
【解析】
根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC选项，由面面垂直的判定可判断D.
【详解】
对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，
又由圆的性质可知，且，
则平面PAC.所以A正确；
对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；
对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.
对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；
综上可知，C为错误选项.
故选：C.
本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.
3、A
【解析】
根据不等式性质，结合特殊值法即可判断各选项.
【详解】
对于①，若，满足，但不成立，所以A错误；
对于②，若，满足，但不成立，所以B错误；
对于③，，而，由不等式性质可得，所以③正确；
对于④，若满足，但不成立，所以④错误；
综上可知，正确的为③，有1个正确；
故选：A.
本题考查了不等式性质应用，根据不等式关系比较大小，属于基础题.
4、A
【解析】
根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．
【详解】
根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，
由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，
|BT||PB||t|，
当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，
当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，
t＝0时，P与B重合，不符合题意，
则t的取值范围为[，0）]；
故选A．

本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题．
5、C
【解析】
根据即可求出结果.
【详解】
据题意，得，所以.
本题考查圆的一般方程，属于基础题型.
6、B
【解析】
利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.
【详解】
数列为等差数列，，
.
考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.
7、A
【解析】
先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.
【详解】
由题得正方体的对角线长为，
所以.
故选A
本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8、D
【解析】
由题意，当输入，则；；
； ，终止循环，
则输出，所以，故选D.
9、A
【解析】
根据两直线平性的必要条件可得，求解并进行验证即可。
【详解】
直线与直线互相平行；
，即，解得：；
当时，直线分别为和，平行，满足条件
当时，直线分别为和，平行，满足条件；
所以；
故答案选A
本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题。
10、B
【解析】
分别令，求得不等式，由此证得成立.
【详解】
当时，，当时，，当时，，所以，所以，故选B.
本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、0.4
【解析】
根据几何概型的计算，反求阴影部分的面积即可.
【详解】
设阴影部分的面积为，根据几何概型的概率计算公式：
，解得.
故答案为：.
本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题.
12、
【解析】
取中点,中点,易得面,再求出到平面的距离,进而求解再得出到平面的距离.从而算得与平面所成角的正弦值即可.
【详解】
如图,取中点,中点,连接.
因为,,所以.
因为,,所以.
在中,余弦定理可得.
在中,余弦定理可得,故.
在中,,且面.
故到面的距离.到面的距离.
又因为,所以,
所以,所以,故到面的距离.
故与平面所成角的正弦值是

故答案为：
本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题.
13、
【解析】
根据可知，得到数列为等差数列；利用等差数列前项和公式构造方程可求得；利用等差数列通项公式求得结果.
【详解】
由得：，即：
数列是公差为的等差数列
又 ，解得：

本题正确结果：
本题考查等差数列通项公式、前项和公式的应用，关键是能够利用判断出数列为等差数列，进而利用等差数列中的相关公式来进行求解.
14、
【解析】
根据反正切函数的值域，结合条件得出的值.
【详解】
，且，因此，，
故答案为：.
本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理即可求解.
【详解】
在中，
，，即，
，
，即，
，，
，，即，
，
，即，
，，
由正弦定理得，
，，
故答案为：
本题考查了同角三角函数的基本关系以及正弦定理解三角形，需熟记公式，属于基础题.
16、8
【解析】
设等差数列的公差为，
则，
所以，故答案为8.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1);(2)
【解析】
（1）由，可得，，，．根据、、成等差数列，、、成等比数列．可得，，代入解出即可得出．
（2）由（1）可得：，可得，分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．
【详解】
（1），
，，，．
，，成等差数列，，，成等比数列．
，，
，，，．
联立解得：，．
（2）由（1）可得：，

，
由，
解得．
．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
18、（1）；（2），
【解析】
（1）由，求得，由大边对大角可知均为锐角，利用同角三角函数关系求得，利用两角和差正弦公式求得结果；（2）根据正弦定理得到的关系，代入可求得；利用余弦定理求得.
【详解】
（1）

（2）由正弦定理可得：
又 ，解得：，则
由余弦定理可得：

本题考查解三角形的相关知识，涉及到同角三角函数关系、两角和差正弦公式、大边对大角的关系、正弦定理和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的通项公式．
（Ⅱ）由，，能求出数列的前n项和．
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，则

解得，∴．
（Ⅱ）．
20、（1）；（2）4，6
【解析】
（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，即可确定出的度数；（2）根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式，记作①，把的度数代入求出的值,记作②,然后利用余弦定理表示出，把及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相应的值代入，开方求出的值,由②③可知与为一个一元二次方程的两个解,求出方程的解,根据大于，可得出，的值.
【详解】
（1）已知等式，
利用正弦定理化简得，
整理得，
即，
，
则.
（2）由，得， ①
又由（1） ，②
由余弦定理得，
将及①代入得，
，
，③
由②③可知与为一个一元二次方程的两个根，
解此方程，并由大于，可得.
以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
21、（1）详见解析；（2）1.
【解析】
（1）证法一：根据为边的中点，可以得到向量等式，平方，再结合余弦定理，可以证明出等式；
证法二：分别在和中，利用余弦定理求出和的表达式，利用，可以证明出等式；
（2）解法一：解法一：记面积为．由题意并结合（1）
所证结论得：，利用已知
，再结合基本不等式，最后求可求出面积的最大值；
解法二：利用余弦定理把表示出来，结合重要不等式，再利用三角形面积公式可得
，令设，利用辅助角公式，可以求出的最大值，即可求出面积的最大值.
【详解】
（1）证法一：由题意得
①
由余弦定理得 ②
将②代入①式并化简得，
故；
证法二：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
∵，∴，
则，故；
（2）解法一：记面积为．由题意并结合（1）
所证结论得：，
又已知，
则，
即，当时，等号成立，故，
即面积的最大值为1．
解法二：

设
则
由，
故.
本题考查了余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了重要不等式及基本不等式，考查了数学运算能力.