2025年四川省泸州市合江天立学校高数学高一第二学期期末考试模拟试题含解析.doc

2025年四川省泸州市合江天立学校高数学高一第二学期期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点O是边长为2的正三角形ABC的中心，则（ ）
A． B． C． D．
3．直线被圆截得的劣弧与优弧的长之比是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前项和为，且，，则( )
A．127 B．129 C．255 D．257
5．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ）
A． B． C． D．
6．如右图所示，直线的斜率分别为则

A． B．
C． D．
7．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角为（ ）

A． B． C． D．
8．我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为　　

A．分 B．分 C．分 D．分
9．直线与直线的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图所示，隔河可以看到对岸两目标，但不能到达，现在岸边取相距的两点，测得（在同一平面内），则两目标间的距离为_________.

12．已知，，若，则________.
13．某校老年、中年和青年教师的人数分别为90，180，160，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则抽取的样本中老年教师的人数为_____
14．已知角满足且，则角是第________象限的角．
15．若函数的图象过点，则___________.
16．函数的单调增区间为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量, 的夹角为, 且, .
(1) 求 ；
(2) 求 .
18．在△中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，，为的中点，求线段的长度.
19．已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求方程的解构成的集合.
20．已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角、、所对边的长分别是、、，若，，，求的面积.
21．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员在处先看到山顶的俯角为18°30′，经过后又在处看到山顶的俯角为81°

（1）求飞机在处与山顶的距离（精确到）；
（2）求山顶的海拔高度（精确到）
参考数据： ，
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由关于x的方程有实数根，求得，再结合长度比的几何概型，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，关于x的方程有实数根，
则满足，解得，
所以在区间内随机取一个实数a，
使得关于x的方程有实数根的概率为.
故选：C.
本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
2、B
【解析】
直接由正三角形的性质求出两向量的模和夹角，由数量积定义计算．
【详解】
∵点O是边长为2的正三角形ABC的中心，∴，，
∴．
故选：B.
本题考查平面向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．
3、A
【解析】
计算出圆心到直线的距离，根据垂径定理，结合锐角三角函数关系，可以求出劣弧所对的圆心角的度数，根据弧度制的定义，这样就可以求出劣弧与优弧的长之比.
【详解】
圆心O到直线的距离为：，直线被圆截得的弦为AB, 弦AB所对的圆心角为，弦AB的中点为C，由垂径定理可知：，所以，
劣弧与优弧的长之比为：，故本题选A.
本题考查了圆的垂径定理、点到直线距离公式、弧长公式，考查了数学运算能力.
4、C
【解析】
利用迭代关系，得到另一等式，相减求出，判断数列是否为等比数列，利用等比数列求和公式可得.
【详解】
因为，，所以，
相减得，，，又，所以，，所以数列是等比数列，所以，故选C.
本题考查等比数列的求和，数列通项公式的求法，考查计算求解能力，属于中档题.
5、C
【解析】，，又，，则，故选
6、C
【解析】
试题分析：由图可知，，所以，故选C．
考点：直线的斜率．
7、A
【解析】
取的中点，连接、，作，垂足为点，证明平面，
于是得出直线与平面所成的角为，然后利用锐角三角函数可求出．
【详解】
如下图所示，取的中点，连接、，作，垂足为点，

是边长为的等边三角形，点为的中点，则，且，
在三棱柱中，平面，平面，，
，平面，平面，，
，，平面，
所以，直线与平面所成的角为，易知，
在中，，，，，
，即直线与平面所成的角为，故选A．
本题考查直线与平面所成角的计算，求解时遵循“一作、二证、三计算”的原则，一作的是过点作面的垂线，有时也可以通过等体积法计算出点到平面的距离，利用该距离与线段长度的比值作为直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
8、B
【解析】
首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出,进而求出立春”时日影长度为.
【详解】
解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，
且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．
，
解得，
“立春”时日影长度为：分．
故选B．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解．
9、B
【解析】
联立方程组，求得交点的坐标，即可得到答案.
【详解】
由题意，联立方程组：，解得，
即两直线的交点坐标为，在第二象限，
选B.
本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10、A
【解析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】
由题知，，解得，∴，故选A．
本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
在中，在中，分别由正弦定理求出，，在中，由余弦定理可得解.
【详解】
由图可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，由余弦定理可得：
.
故答案为：
此题考查利用正余弦定理求解三角形，根据已知边角关系建立等式求解，此题求AB的长度可在多个三角形中计算，恰当地选择可以减少计算量.
12、
【解析】
先算出的坐标，然后利用即可求出
【详解】
因为，
所以
因为，所以
即，解得
故答案为：
本题考查的是向量在坐标形式下的相关计算，较简单.
13、
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系，即可得到答案。
【详解】
设抽取的样本中老年教师的人数为，学校所有的中老年教师人数为270人
由分层抽样的定义可知：，解得：
故答案为
本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题。
14、三
【解析】
根据三角函数在各个象限的符号，确定所在象限.
【详解】
由于，所以为第三、第四象限角；由于，所以为第二、第三象限角.故为第三象限角.
故答案为：三
本小题主要考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.
15、
【解析】
由过点，求得a，代入，令，即可得到本题答案
【详解】
因为的图象过点，所以，所以，故.
故答案为：-5
本题主要考查函数的解析式及利用解析式求值.
16、
【解析】
先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性，结合复合函数的单调性的判断可得出选项.
【详解】
因为，所以或，即函数定义域为，
设，所以在上单调递减，在上单调递增，
而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.
故填：．
本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）1；（2）
【解析】
（1）利用向量数量积的定义求解；
（2）先求模长的平方，再进行开方可得.
【详解】
（1）•=||||cos60°=2×1×=1；
（2）|+|2=（+）2
=+2•+
=4+2×1+1
=7.
所以|+|=.
本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.
18、（1）； （2）； （3）.
【解析】
（1）由三角恒等变换的公式，化简，代入即可求解.
（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式，求得，即可得到答案.
（3）设，在中，由余弦定理，求得，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，在中，，则
又由
.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，可得，当且仅当等号成立，
所以的最大值为.
（3）设，如图所示，
在中，由余弦定理可得，
即，即，解得，
在中，由余弦定理,可得，……①
在中，由余弦定理,可得，……②
因为，所以，
由①+②，可得，即，
解得，即.

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．
19、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用二倍角公式化简函数，再逆用两角和的正弦公式进一步化简函数，代入最小正周期公式即可得解；（Ⅱ）由得，则，求解x并写成集合形式.
【详解】
（Ⅰ）

，
所以函数的最小正周期.
（Ⅱ）由得，
，解得
因此方程的解构成的集合是：.
本题考查简单的三角恒等变换，已知三角函数值求角的集合，属于基础题.
20、（1）的增区间是，（2）
【解析】
（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数的单调递增区间；
（2）根据（1）所得的结论和，可以求出角的值，利用三角形内角和定理可以求出角的值，再运用正弦定理可得出的值，最后利用三角形面积公式可以求出的面积..
【详解】
（1）

令，
解得
∴的增区间是，
（2）
∵
∴解得
又∵∴中，
由正弦定理得
∴
本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式，考查了正弦定理和三角形面积公式，考查了数学运算能力.
21、（1）14981m（2）
【解析】
（1）先求出飞机在150秒内飞行的距离，然后由正弦定理可得；
（2）飞机，山顶的海拔的差为，则山顶的海拔高度为．
【详解】
解：（1）飞机在150秒内飞行的距离为，
在中，由正弦定理，有，
∴；
（2）飞机，山顶的海拔的差为，
，
即山顶的海拔高度为．
本题主要考查正弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．