吉林省长春市十一高中、白城一中联考2024-2025学年高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

吉林省长春市十一高中、白城一中联考2024-2025学年高一数学第二学期期末统考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.
2．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）
A． B． C． D．
3．若，，与的夹角为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．当为第二象限角时，的值是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知角的终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙两名篮球运动员最近五场比赛的得分如茎叶图所示，则（ ）

A．甲的中位数和平均数都比乙高
B．甲的中位数和平均数都比乙低
C．甲的中位数比乙的中位数高，但平均数比乙的平均数低
D．甲的中位数比乙的中位数低，但平均数比乙的平均数高
7．如图，函数与坐标轴的三个交点P，Q，R满足，，M为QR的中点，，则A的值为（ ）

A． B． C． D．
8．已知的内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
9．在等比数列中，，，则数列的前六项和为（ ）
A．63 B．－63 C．－31 D．31
10．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：
甲：7，7，8，8，1；
乙：8，9，9，9，1．
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别用表示，则
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为 ．
12．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一数值也可以近似地用表示，则_____.
13．已知直线：与直线：平行，则______.
14．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是__________．
15．若、、这三个的数字可适当排序后成为等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________________.
16．已知等比数列中，，，则该等比数列的公比的值是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，内角，，所对的边分别为，，．若.
（1）求角的度数；
（2）当时，求的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上
（1）若，求点P的坐标：
（2）若的面积为10，求点P的坐标．
19．已知.
(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ)求函数在时的值域．
20．已知直线截圆所得的弦长为．直线的方程为．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过定点，点在圆上，且，为线段的中点，求点的轨迹方程.
21．已知向量 ，其中．函数的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为1．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）计算的值；
（Ⅲ）设函数，试讨论函数在区间 [0，3] 上的零点个数．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，D错；由棱柱的定义，C正确；

考点：1、棱柱的概念；2、棱台的概念.
2、B
【解析】
成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．
【详解】
解：成等比数列，，又，，
则
故选B．
本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3、C
【解析】
由题意可得 ||•||•cos，，再利用二倍角公式求得结果．
【详解】
由题意可得 ||•||•cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，
故选：C．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，二倍角公式的应用属于基础题．
4、C
【解析】
根据为第二象限角，，，去掉绝对值，即可求解．
【详解】
因为为第二象限角，∴，，
∴，故选C．
本题重点考查三角函数值的符合，三角函数在各个象限内的符号可以结合口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦，增加记忆印象，属于基础题
5、D
【解析】
首先计算出，根据三角函数定义可求得正弦值和余弦值，从而得到结果.
【详解】
由三角函数定义知：
，，则：
本题正确选项：
本题考查任意角三角函数的求解问题，属于基础题.
6、B
【解析】
分别计算出两组数据的中位数和平均数即可得出选项.
【详解】
根据题意：甲的平均数为：，中位数为29，
乙的平均数为：，中位数为30，
所以甲的中位数和平均数都比乙低.
故选：B
此题考查根据茎叶图表示的数据分别辨析平均数和中位数的大小关系，分别计算求解即可得出答案.
7、D
【解析】
用周期表示出点坐标，从而又可得点坐标，再求出点坐标后利用求得，得．
【详解】
记函数的周期，则，因为，∴，是中点，则，
∴，解得，∴，
由得，∵，∴，，
，∴，
故选：D.
本题考查求三角函数的解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．
8、A
【解析】
中，，所以.
由正弦定理得：.
所以.
所以，即
因为为的内角，所以
所以为等腰三角形.
故选A.
9、B
【解析】
利用等比数列通项公式求出公式，由此能求出数列的前六项和.
【详解】
在等比数列中，，，

解得
数列的前六项和为：.
故选：
本题考查等比数列通项公式求解基本量，属于基础题.
10、D
【解析】
分别计算平均值和方差，比较得到答案.
【详解】
由题意可得，
，
.
故.
故答案选D
本题考查了数据的平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.
考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.
【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．
12、
【解析】
代入分式利用同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式化简即可.
【详解】

.
故答案为：2
本题考查同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式，属于基础题.
13、4
【解析】
利用直线平行公式得到答案.
【详解】
直线：与直线：平行

故答案为4
本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.
14、
【解析】
直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.
【详解】
直线即，
圆的圆心为，半径为，
若直线与圆有交点，则，
解得,
故实数的取值范围是.
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.
15、
【解析】
由，，可知，、、成等比数列，可得出，由、、或、、成等差数列，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可计算出的值.
【详解】
由于，，若不是等比中项，则有或，两个等式左边均为正数，右边均为负数，不合题意，则必为等比中项，所以，
将三个数由大到小依次排列，则有、、成等差数列或、、成等差数列.
①若、、成等差数列，则，联立，解得，
此时，；
②若、、成等差数列，则，联立，解得，
此时，.
综上所述，.
故答案为：.
本题考查等比数列和等差数列定义的应用，根据题意列出方程组是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
16、
【解析】
根据等比通项公式即可求解
【详解】

故答案为：
本题考查等比数列公比的求解，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据余弦定理即可解决．
（2）根据向量的三角形法则即可解决．
【详解】
（1）因为，
所以得，
所以，
所以，因为所以；
（2）取的中点，则，，
所以
所以，

从而由平行四边形性质有
故.
本题主要考查了余弦定理以及向量的三角形法则，其中第二问用了完全平方以及加减消元的思想，是本题的一个难点．解决本题的关键是画一个三角形结合三角形进行分析．
18、 (1) ；(2) 或
【解析】
（1）利用两直线垂直，斜率之积为-1进行求解
（2）将三角形的面积问题转化成点到直线的距离公式进行求解
【详解】
（1）设P点坐标为，由题意，直线AB的斜率；
因为，所以直线PB存在斜率且，
即，解得；故点P的坐标为；
（2）设P点坐标为，P到直线AB的距离为d；
由已知，直线AB的方程为；
的面积．得，
即，解得或；所以点P的坐标为或
两直线垂直的斜率关系为；已知两点坐标时，距离公式为；三角形面积问题，常可转化为点到直线距离公式进行求解.
19、 (Ⅰ) ； (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)化简得＝,利用周期的公式和正弦型函数的性质，即可求解；
(Ⅱ)由 ，可得，得到∈，即可求得函数的值域.
【详解】
(Ⅰ)由题意，化简得＝,
所以函数的最小正周期为,
又由，解得
所以的单调递增区间为.
(Ⅱ)由 ，可得，所以∈，
所以的值域为．
本题主要考查了三角函数的的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用直线截圆得到的弦长公式可得半径r，从而得到圆的方程；（2）由已知可得直线l1恒过定点P（1,1），设MN的中点Q（x，y），由已知可得，利用两点间的距离公式化简可得答案.
【详解】
（1）根据题意，圆的圆心为（0，0），半径为r，
则圆心到直线l的距离，
若直线截圆所得的弦长为，
则有，解可得，则圆的方程为；
（2）直线l1的方程为，即，
则有，解得，即P的坐标为（1，1），
点在圆上，且，为线段的中点，则，
设MN的中点为Q（x，y），
则，即，
化简可得：即为点Q的轨迹方程.
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.
21、（Ⅰ），；（Ⅱ）2028；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f（x），由题意求得ω，再由函数f（x）的图象过点B（2，2）列式求得．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，可得f（x）是周期为2的周期函数，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．得到f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．
进一步可得结论；
（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．
【详解】
（Ⅰ）∵（，cos2（ωx+φ）），（，），
∴f（x）cos2（ωx+）＝2﹣cos2（ωx+）），
∴f（x）max＝2，则点B（2，2）为函数f（x）的图象的一个最高点．
∵点B与其相邻的最高点的距离为2，∴，得ω．
∵函数f（x）的图象过点B（2，2），∴，即sin2φ＝2．
∵0＜，∴．
∴f（x）＝2﹣cos2（）＝2+sin，
由，得，．
的单调递减区间是，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，
∴f（x）是周期为2的周期函数，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．
∴f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．
而2027＝2×502+2，
∴f（2）+f（2）+…+f（2027）＝2×502+2＝2028；
（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，
即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．
在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：
①当m＞2或m＜﹣2时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；
②当﹣2≤m＜0或m＝2时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；
③当0≤m＜2时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．
综上，当m＞2或m＜﹣2时，函数g（x）在[0，3]上无零点；
②当﹣2≤m＜0或m＝2时，函数g（x）在[0，3]内有2个零点；
③当0≤m＜2时，函数g（x）在[0，3]内有2个零点．

本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．