广东省华附南海实验高中2025届高一下数学期末经典试题含解析.doc

广东省华附南海实验高中2025届高一下数学期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若正实数x，y满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；
③“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；
④“平面α∥平面β”的充分不必要条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”；
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
8．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )
A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A．既有极小值，也有极大值 B．有极小值，但无极大值
C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值
10．设，为两个平面，则能断定∥的条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一条直线
C．，垂直于同一条直线 D．，垂直于同一平面
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列满足，（），则________.
12．已知方程的两根分别为、、且，且__________．
13．设等差数列的前项和为，若，，则的值为______.
14．若，则__________．
15．设向量与向量共线，则实数等于__________．
16．中，内角、、所对的边分别是、、，已知，且，，则的面积为_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆的半径是2，圆心在直线上，且圆与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）若点是圆上的动点，点在轴上，的最大值等于7，求点的坐标.
18．已知向量，，函数．
（1）若，求的取值集合；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
19．已知，，其中，，且函数在处取得最大值.
（1）求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；
（2）在(1)的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像.若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（3）在(1)的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集.
20．在中，的对边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若的面积为，，求的值．
21．已知向量，，，.
（1）求的最小值及相应的t的值；
（2）若与共线，求实数m.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得．
【详解】
设旋转之后的角为，由题得，，，又因为，
所以得，故选B．
本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题．
2、B
【解析】
分析：由左加右减，得出解析式，因为解析式为正弦函数，
所以令，解出，对k进行赋值，得出对称轴.
详解：由左加右减可得，
解析式为正弦函数，则令，
解得：，令，则 ，故选B.
点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x解析式，即为对称轴方程.
3、B
【解析】
试题分析：由正实数满足不等式，得到如下图阴影所示的区域：

当过点时，，当过点时，，所以的取值范围是．
考点：线性规划问题．
4、C
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.
【详解】
命题“”的否定是“”.
故选C
本题主要考查全称命题的否定，只需改量词和结论即可，属于基础题型.
5、D
【解析】
直接由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案.
【详解】
设与的夹角为，由，，，所以.
故选：D
本题主要考查平面向量的数量积公式.
6、A
【解析】

如图，过时，取最小值，为。故选A。
7、B
【解析】
逐项分析见详解.
【详解】
① “a平行于b所在的平面”不能推出 “直线a∥直线b”，如：正方体上底面一条对角线平行于下底面，但上底面的一条对角线却不平行于下底面非对应位置的另一条对角线，故错误；
②“直线l⊥平面α内所有直线”是“l⊥平面α”的定义，故正确；
③“直线a、b不相交”不能推出“直线a、b为异面直线”，这里可能平行；“直线a、b为异面直线”可以推出“直线a、b不相交”，所以是必要不充分条件，故正确；
④“α内存在不共线的三点到β的距离相等”不能推出“平面α∥平面β”，这里包含了平面相交的情况，“平面α∥平面β”能推出“α内存在不共线的三点到β的距离相等”，所以是必要不充分条件，故错误.
故选B.
本题考查空间中平行与垂直关系的判断，难度一般.对可以利用判定定理和性质定理直接分析的问题，可直接判断；若无法直接判断的问题可采用作图法或者排除法判断.
8、B
【解析】
解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别
故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大
故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．
故选B．
9、B
【解析】
由导函数图象可知，在上为负，在上非负，在上递减，在递增，在处有极小值，无极大值，故选B.
10、C
【解析】
对四个选项逐个分析，可得出答案.
【详解】
对于选项A，当，相交于直线时，内有无数条直线与平行，即A错误；
对于选项B，当，相交于直线时，存在直线满足：既与平行又不在两平面内，该直线平行于，，故B错误；
对于选项C，设直线AB垂直于，平面，垂足分别为A,B，假设与不平行，设其中一个交点为C，则三角形ABC中，，显然不可能成立，即假设不成立，故与平行，故C正确；
对于选项D，，垂直于同一平面，与可能平行也可能相交，故D错误.
本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、31
【解析】
根据数列的首项及递推公式依次求出、、……即可.
【详解】
解：，

故答案为：
本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.
12、
【解析】
由韦达定理和两角和的正切公式可得，进一步缩小角的范围可得，进而可求．
【详解】
方程两根、，
，，
，
又，
，，
，，，
，结合，
，
故答案为．
本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理，属中档题．
13、－6
【解析】
由题意可得，求解即可.
【详解】
因为等差数列的前项和为， ，
所以由等差数列的通项公式与求和公式可得
解得.故答案为-6.
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题.
14、 ；
【解析】
把分子的1换成，然后弦化切，代入计算．
【详解】
．
故答案为－1．
本题考查三角函数的化简求值．解题关键是“1”的代换，即，然后弦化切．
15、3
【解析】
利用向量共线的坐标公式,列式求解.
【详解】
因为向量与向量共线,
所以,
故答案为:3.
本题考查向量共线的坐标公式,属于基础题.
16、
【解析】
由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【详解】
，由边角互化思想得，
即，，
由余弦定理得，，
所以，，因此，，故答案为.
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，解题时要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）或．
【解析】
（1）利用圆心在直线上设圆心坐标，利用相切列方程即可得解；
（2）利用最大值为7确定圆，设点的坐标，找到到圆上点的最大距离列方程得解．
【详解】
解：（1）设圆心的坐标为，
因为圆与直线相切，
所以，
即，
解得或，
故圆的方程为：，或；
（2）由最大值等于可知，若圆的方程为，则的最小值为，故不故符合题意；
所以圆的方程为：，
设，
则，
的最大值为：，
得，
解得或．
故点的坐标为或．
此题考查了圆方程的求法，点到圆上点的距离最值等，属于中档题．
18、（1）或；（2）.
【解析】
（1）由题化简得．再解方程即得解；（2）由题得在上恒成立，再求不等式右边函数的最小值即得解.
【详解】
解：（1）因为，，
所以．
因为，所以．
解得或．
故的取值集合为．
（2）由（1）可知，所以在上恒成立．
因为，所以，所以在上恒成立.
设，则．
所以．
因为，所以，所以．
故的取值范围为．
本题主要考查三角恒等变换和解三角方程，考查三角函数最值的求法和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
19、（1）的最小值为1，，，（2）（3）原不等式的解集为
【解析】
（1）先将化成正弦型，然后利用在处取得最大值求出，然后即可得到的解析式和周期
（2）先根据图象的变换得到，然后画出在区间上的图象，条件转化为的图象与直线有两个交点即可
（3）利用坐标的对应关系式，求出的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果．
【详解】
（1）因为，
所以

因为在处取得最大值.
所以，即
当时的最小值为1
此时，
（2）将的图像上的所有的点向右平移个单位得到的函数为，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数
在区间上的图象为：

方程有两个不相等的实数根等价于的图象
与直线有两个交点
所以，解得
（3）设，
因为点，且满足
所以，所以
因为点为函数图像上的一点
所以
即
因为，所以
所以
所以
所以原不等式的解集为
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（1）根据二倍角和诱导公式可得的值；（2）根据面积公式求，然后利用余弦定理求，最后根据正弦定理求的值.
【详解】
（1）,
，
所以原式整理为,
解得：（舍）或
,
;
（2），
解得，
根据余弦定理,
,
，
代入解得：,
.
本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.
21、（1）时，最小值为；（2）.
【解析】
(1)利用向量的模长公式计算出的表达式然后求最值.
(2)先求出的坐标，利用向量平行的公式得到关于m的方程，可解得答案.
【详解】
（1）∵，
∴
当时，取得最小值.
（2）.
∵与共线，∴，则.
本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题.