2025年浙江省杭州市江南实验学校数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025年浙江省杭州市江南实验学校数学高一第二学期期末教学质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，且，，则( )
A． B． C． D．
2．如图，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于　　

A． B． C． D．1
3．一个不透明袋中装有大小､质地完成相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6，现从中随机选取三个球，则所选三个球上的数字能构成等差数列(如：､､成等差数列，满足)的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．从A，B，C三个同学中选2名代表，则A被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4
6．把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝，＝(cosA，sinA)，若与夹角为，则acosB＋bcosA＝csinC，则角B等于(　　)
A． B． C． D．
8．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则△ABC是
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知实数满足,那么的最小值为(   )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，，．若，则________．
12．已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_______________.
13．在等比数列中,若,则__________.
14．函数在区间上的最大值为，则的值是_____________.
15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．

16．已知等差数列的前项和为，若，则_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，平面，，点在底面上的射影为棱的中点，点在平面内的射影为

证明：为的中点：
求三棱锥的体积
18．已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为
（1）求的弧度；
（2）求的值.
19．若数列满足：存在正整数，对任意的，使得成立，则称为阶稳增数列.
（1）若由正整数构成的数列为阶稳增数列，且对任意，数列中恰有个，求的值；
（2）设等比数列为阶稳增数列且首项大于，试求该数列公比的取值范围；
（3）在（1）的条件下，令数列（其中，常数为正实数），设为数列的前项和.若已知数列极限存在，试求实数的取值范围，并求出该极限值.
20．如图，在三棱柱中，为正三角形，为的中点，，，．

（1）证明：平；
（2）证明：平面平面．
21．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）证明：.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据同角公式求出，后，根据两角和的正弦公式可得.
【详解】
因为，所以，
因为，所以.
因为，所以，
因为，所以.
所以

.
故选：C
本题考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，拆解是解题关键，属于中档题.
2、D
【解析】
由线面垂直的判定定理得：，又，所以面，由线面垂直的性质定理得：，即可求解．
【详解】
解：连接，

因为四边形为正方形，所以，又，
所以面，
所以，
所以异面直线与所成角的正弦值等于1，故选D．
本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理，属中档题．
3、B
【解析】
用列举法写出所有基本事件，确定成等差数列含有的基本事件，计数后可得概率．
【详解】
任取3球，结果有234,236,246,346共4种，其中234，246是成等差数列的2个基本事件，
∴所求概率为．
故选：B．
本题考查古典概型，解题时可用列举法列出所有的基本事件．
4、D
【解析】
先求出基本事件总数，被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中的概率．
【详解】
从，，三个同学中选2名代表，
基本事件总数为：，共个，
被选中包含的基本事件为：，共2个，
被选中的概率．
故选：D．
本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．
5、C
【解析】
由流程图循环4次，输出，即可得出结果.．
【详解】
初始值，，是，
第一次循环：，，是，
第二次循环：，，是，
第三次循环：，，是，
第四次循环:S，，否，输出．
故选C．
本题考查程序框图的循环，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题．
6、D
【解析】
函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式．
【详解】
函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），
得到，
把图象向左平移个单位，
得到
故选：．
本题考查函数的图象变换．准确理解变换规则是关键，属于中档题．
7、B
【解析】
根据向量夹角求得角 的度数，再利用正弦定理求得 即得解.
【详解】
由已知得：
所以 所以
由正弦定理得：
所以
又因为
所以 因为
所以
所以
故选B.
本题考查向量的数量积和正弦定理，属于中档题.
8、A
【解析】
由正弦定理，记，
则，，，
又，
所以，
即，
所以.
故选：A.
9、D
【解析】
对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.
【详解】
对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，
则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.
对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.
对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，
可判定C正确.
对于D，若，则或相交，所以D不正确.
故选：D
本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.
10、A
【解析】
表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.
【详解】
依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.
本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】
由题可得

,即
故答案为
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
12、5
【解析】
试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以.
考点：等差，等比数列的性质
13、80
【解析】
由即可求出
【详解】
因为是等比数列，
所以， 所以
即
故答案为：80
本题考查的是等比数列的性质，较简单
14、
【解析】
利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数在上的最大值为1，易求出的值．
【详解】
函数
又函数在上的最大值为1，
≤0，
又,
且在上单调递增，
所以
即．
故答案为：
本题考查的知识点是三角函数的最值，其中利用同角三角函数平方关系，将函数化为二次型的函数，是解答本题的关键，属于中档题．
15、
【解析】
由三视图知该几何体是一个半圆锥挖掉一个三棱锥后剩余的部分，
如图所示，
所以其体积为.

点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
16、
【解析】
先由题意，得到，求出，再由等差数列的性质，即可得出结果.
【详解】
因为等差数列的前项和为，若，
则，所以，
因此.
故答案为：
本题主要考查等差数列的性质的应用，熟记等差数列的求和公式，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析（2）
【解析】
（1）先证平面平面，说明平面且，根据菱形的性质即可说明为的中点．
（2）根据，即求出即可．
【详解】
（1）证明：因为面，平面，

所以平面平面；交线为过作，则平面，又是菱形，，所以为的中点
（2）由题意平面

本题考查面面垂直的性质定理，利用等体积转换法求三棱锥的体积，属于基础题．
18、（1）（2）
【解析】
（1）由弧长求出半径，再由面积求得圆心角；
（2）先由诱导公式化简待求式为，利用两角差的正切公式可求．
【详解】
（1）设扇形的半径为r，则，所以.
由可得，
解得.
（2）.
.
本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．.
19、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）设，由题意得出，求出正整数的值即可；
（2）根据定义可知等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列，分和两种情况讨论，列出关于的不等式，解出即可；
（3）求出，然后分、和三种情况讨论，求出，结合数列的极限存在，求出实数的取值范围.
【详解】
（1）设，由于数列为阶稳增数列，则，
对任意，数列中恰有个，
则数列中的项依次为：、、、、、、、、、、、、、、、、，
设数列中值为的最大项数为，
则，
由题意可得，即，，解得，
因此，；
（2）由于等比数列为阶稳增数列，即对任意的，，且.
所以，等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列.
①当时，则等比数列中每项都为正数，由可得，整理得，解得；
②当时，
（i）若为正奇数，可设，则，
由，得，即，整理得，解得；
（ii）若为正偶数时，可设，则，
由，得，即，整理得，解得.
所以，当时，等比数列为阶稳增数列.
综上所述，实数的取值范围是；
（3），由（1）知，则.
①当时，，，则，
此时，数列的极限不存在；
②当时，，
，
上式下式得，
所以，，则.
（i）若时，则，此时数列的极限不存在；
（ii）当时，，
此时，数列的极限存在.
综上所述，实数的取值范围是.
本题考查数列新定义“阶稳增数列”的应用，涉及等比数列的单调性问题、数列极限的存在性问题，同时也考查了错位相减法求和，解题的关键就是理解新定义“阶稳增数列”，考查分析问题和解决问题能力，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）连结交于，连结，先证明，再证明平；（2）取的中点为，连结，，，先证明平面，再证明平面平面．
【详解】
证明：（1）连结交于，连结，
由于棱柱的侧面是平行四边形，故为的中点，
又为的中点，故是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．

（2）取的中点为，连结，，，在中，，
由，知为正三角形，故，
又，，故，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.
21、（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）直接给n赋值求出，的值；（Ⅱ）利用项和公式化简，再利用定义法证明数列是等比数列，即得等比数列的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比数列求和证明不等式.
【详解】
（Ⅰ），令，得，，；
令，得，即，，．
证明：（Ⅱ），①
，②
②①得：，
，，
从而当时，，④
③④得：，即，，．
又由（Ⅰ）知，，，．
数列是以2为首项，以为公比的等比数列，则.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
因为当时，，所以.
于是.
本题主要考查等比数列性质的证明和通项的求法，考查等比数列求和和放缩法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.