2025届浙江省镇海中学数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025届浙江省镇海中学数学高一第二学期期末教学质量检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，那么（ ）
A． B． C． D．
2．在一段时间内，某种商品的价格（元）和销售量（件）之间的一组数据如下表：
价格（元）
4
6
8
10
12
销售量（件）
3
5
8
9
10
若与呈线性相关关系，且解得回归直线的斜率，则的值为（ ）
A．0.2 B．-0.7 C．-0.2 D．0.7
3．已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，，且，则实数的值为
A． B． C． D．
5．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）
A．8π B．6π C．4π D．π
6．集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．以下给出了4个命题：
（1）两个长度相等的向量一定相等；
（2）相等的向量起点必相同；
（3）若，且，则；
（4）若向量的模小于的模，则．
其中正确命题的个数共有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0个
8．某数学竞赛小组有3名男同学和2名女同学，现从这5名同学中随机选出2人参加数学竞赛（每人被选到的可能性相同）.则选出的2人中恰有1名男同学和1名女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．将一个底面半径和高都是的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为，半径为的半球的体积记为，则与的大小关系为( )
A． B． C． D．不能确定
10．已知向量=(),=(-1,1),若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则与的夹角等于___________.
12．等差数列中，，，设为数列的前项和，则_________.
13．已知，，是与的等比中项，则最小值为_________．
14．已知直线是函数（其中）图象的一条对称轴，则的值为________.
15．给出下列四个命题：
①在中，若，则；
②已知点，则函数的图象上存在一点，使得；
③函数是周期函数，且周期与有关，与无关；
④设方程的解是，方程的解是，则.
其中真命题的序号是______.（把你认为是真命题的序号都填上）
16．已知等差数列则 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3,第二小组频数为12.

（1）求第二小组的频率；
（2）求样本容量；
（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
18．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：
第一种，每天支付元，没有奖金；
第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元；
第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍.
（1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式；
（2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？
19．已知各项均为正数的等比数列满足：，且，．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)求数列的前n项和.
20．设数列是等差数列，其前n项和为；数列是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知.
（1）求；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：由题意得，，故，故选C．
考点：分段函数的应用.
2、C
【解析】
由题意利用线性回归方程的性质计算可得的值.
【详解】
由于，，
由于线性回归方程过样本中心点，故：，
据此可得：.
故选C.
本题主要考查线性回归方程的性质及其应用，属于中等题.
3、B
【解析】
首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积（其中为底面圆的半径，为母线长），即可得到答案．
【详解】
由于圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，
所以母线长 ，故圆锥的侧面积；
故答案选B
本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即（其中为底面圆的半径，为母线长），属于基础题
4、A
【解析】
求出的坐标，由得，得到关于的方程.
【详解】
，，
因为，所以，故选A.
本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力.
5、C
【解析】
设正方体的棱长为a，则＝8，∴a＝2.而此正方体的内切球直径为2，∴S表＝4π＝4π.选C.
6、C
【解析】
，则，
所以，元素个数为2个。故选C。
7、D
【解析】
利用向量的概念性质和向量的数量积对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】
（1）两个长度相等的向量不一定相等，因为它们可能方向不同，所以该命题是错误的；
（2）相等的向量起点不一定相同，只要它们方向相同长度相等就是相等向量，所以该命题是错误的；
（3）若，且，则是错误的，举一个反例，如，不一定相等，所以该命题是错误的；
（4）若向量的模小于的模，则，是错误的，因为向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故该命题不正确．
故选：D
本题主要考查向量的概念和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8、A
【解析】
把5名学生编号，然后写出任取2人的所有可能，按要求计数后可得概率．
【详解】
3名男生编号为，两名女生编号为，任选2人的所有情形为：，，共10种，其中恰有1名男生1名女生的有共6种，
所以所求概率为．
本题考查古典概型，方法是列举法．
9、C
【解析】
根据题意分别表示出，通过比较。
【详解】

所以 ，
选C。
【点睛】 ，，。记住这几个公式即可，属于基础题目。
10、D
【解析】
对条件两边平方，得到该两个向量分别垂直，代入点的坐标，计算参数，即可．
【详解】
结合条件可知，，得到，代入坐标，得到
，解得，故选D．
本道题考查了向量的运算，考查了向量垂直坐标表示，难度中等．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用再结合已知条件即可求解
【详解】
由，即，
故答案为：
本题考查向量的夹角计算公式，在考题中应用广泛，属于中档题
12、
【解析】
由等差数列的性质可得出的值，然后利用等差数列的求和公式可求出的值.
【详解】
由等差数列的基本性质可得，
因此，.
故答案为：.
本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
13、1
【解析】
根据等比中项定义得出的关系，然后用“1”的代换转化为可用基本不等式求最小值．
【详解】
由题意，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以最小值为1．
故答案为：1．
本题考查等比中项的定义，考查用基本不等式求最值．解题关键是用“1”的代换找到定值，从而可用基本不等式求最值．
14、
【解析】
根据正弦函数图象的对称性可得，由此可得答案.
【详解】
依题意得，
所以，
即，
因为，所以或，
故答案为：
本题考查了正弦函数图象的对称轴，属于基础题.
15、①③
【解析】
①利用三角形的内角和定理以及正弦函数的单调性进行判断；
②根据余弦函数的有界性可进行判断；
③利用周期函数的定义，结合余弦函数的周期性进行判断；
④根据互为反函数图象的对称性进行判断.
【详解】
①在中，若，则，则，由于正弦函数在区间上为增函数，所以，故命题①正确；
②已知点，则函数，所以该函数图象上不存在一点，使得，故命题②错误；
③函数的是周期函数，
当时，，该函数的周期为.
当时，，该函数的周期为.
所以，函数的周期与有关，与无关，命题③正确；
④设方程的解是，方程的解是，
由，可得，由，可得，
则可视为函数与直线交点的横坐标，
可视为函数与直线交点的横坐标，如下图所示：

联立，得，可得点，
由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，
则直线与函数和函数图象的两个交点关于点对称，
所以，命题④错误.
故答案为：①③.
本题考查三角函数的周期、正弦函数单调性的应用、互为反函数图象的对称性的应用以及余弦函数有界性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16、1
【解析】
试题分析：根据公式，，将代入，计算得n=1．
考点：等差数列的通项公式．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）;（2）；（3）%
【解析】
(1) 由于每个长方形的面积即为本组的频率,设第二小组的频率为4,则
解得
第二小组的频率为
(2)设样本容量为, 则
(3)由(1)和直方图可知,次数在110以上的频率为
由此估计全体高一学生的达标率为%
18、（1），，；（2）第三种，理由见解析.
【解析】
（1）三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，可知数列为常数数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列求和公式可计算出、、关于的表达式；
（2）利用（1）中的结论，计算出、、的值，比较大小后可得出结论.
【详解】
（1）设三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，
它们的前项和分别为、、，
第一种付酬方式每天所付金额组成数列为常数列，且，所以；
第二种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以；
第三种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，当时，，，
，则.
因此，该学生在暑假期间共工作天，选第三种付酬方式较好.
本题考查等差数列和等比数列的应用，涉及等差数列和等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
19、 (Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
（I）由得出，可得公比为2，再求出后可得；
（II）由（I）得，则，可用错位相减法求．
【详解】
解：(Ⅰ)因为
所以
即.
由因为
所以，公比
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以.
所以
因为
所以

所以
本题考查等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列求和根据数列的通项公式可采取不同的方法，一般有公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等．
20、（1）；；（2）
【解析】
(1) 根据等比数列与等差数列,分别设公比与公差再用基本量法求解即可.
(2)由(1)有再错位相减求解,利用不等式恒成立的方法求解即可.
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为q,由,,可得．
∵,可得．
故；
设等差数列的公差为d,由,得,
由,得,
∴． 故；
（2）根据题意知,
①
②
①—②得
∴,
对任意的恒成立,∴
本题主要考查了等差等比数列的基本量求解方法以及错位相减和不等式恒成立的问题.属于中档题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）根据三角函数的基本关系式，可得，再结合正切的倍角公式，即可求解；
（2）由（1）知，结合三角函数的基本关系式，即可求解，得到答案.
【详解】
（1）由，根据三角函数的基本关系式，可得，
所以.
（2）由（1）知，又由.
本题主要考查了三角函数的基本关系式和正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.