安徽省淮北市一中2025年高一数学第二学期期末综合测试试题含解析.doc

安徽省淮北市一中2025年高一数学第二学期期末综合测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为
A． B． C． D．
2．单位圆中，的圆心角所对的弧长为( )
A． B． C． D．
3．在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从2 014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 014人中，每个人被抽取的可能性 (　　)
A．均不相等 B．不全相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
5．对于空间中的两条直线，和一个平面，下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知直角三角形ABC，斜边，D为AB边上的一点，，，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
7．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
8．如图所示，在中，，点在边上，点在线段上，若,则 （ ）

A． B． C． D．
9．已知平面四边形满足，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将正整数按下图方式排列，2019出现在第行第列，则 ______；
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
… … …
12．若锐角满足则______.
13．已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影是 ；
14．已知且，则________
15．已知四面体的四个顶点均在球 的表面上，为球的直径，，四面体的体积最大值为____
16．已知函数分别由下表给出：

1
2
3

2
1
1

1
2
3

3
2
1
则当时，_____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等比数列的各项为正数，为其前项的和，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及其前项的和．
18．如图，在三棱锥中，垂直于平面，.求证：平面.

19．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调区间.
20．已知平面向量，且
（1）若是与共线的单位向量，求的坐标；
（2）若，且，设向量与的夹角为，求．
21．正四面体是侧棱与底面边长都相等的正三棱锥，它的对棱互相垂直.有一个如图所示的正四面体，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点.

（1）求证：面EFG；
（2）求异面直线EG与AC所成角的大小.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
计算结果.
【详解】
因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为，则该三棱柱的体积为．
本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型.
2、B
【解析】
将转化为弧度，即可得出答案.
【详解】
，因此，单位圆中，的圆心角所对的弧长为.
故选B.
本题考查角度与弧度的转化，同时也考查了弧长的计算，考查计算能力，属于基础题.
3、D
【解析】
由正弦定理构造方程即可求得结果.
【详解】
由正弦定理得：
本题正确选项：
本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
4、C
【解析】
由题意可得，先用简单随机抽样的方法从2014人中剔除14人，则剩下的再分组，按系统抽样抽取.在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到的机会相等，均为
故选C
5、C
【解析】
依次分析每个选项中两条直线与平面的位置关系，确定两条直线的位置关系即可.
【详解】
平行于同一平面的两条直线不一定相互平行，
故选项A错误，
平行于平面的直线不一定与该平面内的直线平行，
故选项B错误，
垂直于平面的直线，垂直于与该平面平行的所有线，
故选项C正确，
垂直于同一平面的两条直线相互平行，
故选项D错误.
故选：C.
本题考查了直线与平面位置关系的辨析，属于基础题.
6、A
【解析】
设，利用勾股定理求出的值即得解.
【详解】

如图，由于，所以设，
所以
所以.
故选：A
本题主要考查解直角三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7、A
【解析】
分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
8、B
【解析】
本题首先可根据点在边上设，然后将化简为，再然后根据点在线段上解得，最后通过计算即可得出结果．
【详解】
因为点在边上，所以可设，
所以，
因为点在线段上，所以三点共线，
所以，解得，
所以，，故选B．
本题考查向量共线的相关性质以及向量的运算，若向量与向量共线，则，考查计算能力，是中档题．
9、B
【解析】
先建系，再结合两点的距离公式、向量的数量积及模的运算，求解即可得解.
【详解】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则,
设，由，
则，所以，
又，所以，
，
即，
故选：B.

本题考查了两点的距离公式，重点考查了向量的数量积运算及模的运算，属中档题.
10、A
【解析】
设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.
【详解】
由题意，圆的圆心坐标，
设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，
满足，解得，
即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，
所以所求圆的方程为，故选A.
本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、128
【解析】
观察数阵可知：前行一共有个数，且第行的最后一个数为，且第行有个数，由此可推断出所在的位置.
【详解】
因为前行一共有个数，且第行的最后一个数为，
又因为，
所以在第行，
且第45行最后数为，
又因为第行有个数，，
所以在第列，
所以.
故答案为：.
本题考查数列在数阵中的应用，着重考查推理能力，难度一般.分析数列在数阵中的应用问题，可从以下点分析问题：观察每一行数据个数与行号关系，同时注意每一行开始的数据或结尾数据，所有行数据的总个数，注意等差数列的求和公式的运用.
12、
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解．
【详解】
、为锐角，，
，，
，，
．
故答案为：．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
13、1
【解析】考查向量的投影定义，在上的投影等于的模乘以两向量夹角的余弦值
14、
【解析】
根据数列极限的方法求解即可.
【详解】
由题,故.
又.故.
故.
故答案为：
本题主要考查了数列极限的问题,属于基础题型.
15、2
【解析】
为球的直径，可知与均为直角三角形，求出点到直线的距离为，可知点在球上的运动轨迹为小圆.
【详解】
如图所示，四面体内接于球，
为球的直径，，
，，过作于，
，
点在以为圆心，为半径的小圆上运动，
当面面时，四面体的体积达到最大，
.

立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.
16、3
【解析】
根据已知，用换元法，从外层求到里层，即可求解.
【详解】
令.
故答案为:.
本题考查函数的表示，考查复合函数值求参数，换元法是解题的关键，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ），
【解析】
（Ⅰ）设正项等比数列的公比为且，由已知列式求得首项与公比，则数列的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由数列的分组求和即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，等比数列的公比，且，
所以，
解得，或（舍去），
则所求数列的通项公式为.
（Ⅱ）由题意得，
故

本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式的应用，同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和．
18、证明见解析
【解析】
分析：由线面垂直的性质可得，结合，利用线面垂直的判定定理可得平面.
详解：∵面，在面内，
∴，
又∵，
，
∴面.
点睛：证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
19、 (1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间。
试题解析：
（Ⅰ）

∴的最小正周期为.
（Ⅱ）由，
得
∴的单调增区间为
由
得
∴的单调减区间为
20、或
【解析】
分析：（1）由与共线，可设，又由为单位向量，根据，列出方程即可求得向量的坐标；
（2）根据向量的夹角公式，即可求解向量与的夹角．
详解：与共线，又，则，为单位向量，，
或，则的坐标为或

，，．
点睛：对于平面向量的运算问题，通常用到：1、平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；2、由向量的数量积的性质有，，，因此利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题；3、本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.
21、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）连接EF，FG，GE，通过三角形的中位线可得，进而可得面EFG；
（2）由题可得为异面直线EG与AC所成角，根据正四棱锥的特点得到为等腰直角三角形，进而可得结果.
【详解】
解：（1）连接EF，FG，GE，如图，

E，F分别是棱AB，BC的中点，
，又面EFG，面EFG，
面EFG；
（2）由（1），则为异面直线EG与AC所成角，
AC与BD是正四面体的对棱，
，又，
，
又 ，
为等腰直角三角形，
，
即异面直线EG与AC所成角的大小为.
本题考查线面平行的证明，以及异面直线所成的角，通过直线平行找到异面直线所成角的平面角是关键，本题难度不大.