江西省宜春市靖安县2025届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

江西省宜春市靖安县2025届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
3．如图，在四边形ABCD中，，，，，.则（ ）

A． B． C．4 D．3
4．已知,,从射出的光线经过直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( )
A． B．3 C． D．
5．已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是 （ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
6．若函数有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．已知，向量，则向量( )
A． B． C． D．
9．函数的部分图像如图所示，则的值为（ ）

A．1 B．4 C．6 D．7
10．已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，方程的解为______.
12．_________________．
13．若锐角满足则______.
14．已知，且，则________．
15．已知、的取值如表所示：

0
1
3
4

2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析，与线性相关，且，则______．
16．已知函数的部分图象如图所示，则的值为_________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆经过，，三点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点N 的直线被圆截得的弦AB的长为，求直线的倾斜角．
18．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，；

（1）证明：平面平面；
（2）设为棱的中点，求二面角的余弦值.
19．某销售公司通过市场调查，得到某种商品的广告费（万元）与销售收入（万元）之间的数据如下：
广告费（万元）
1
2
4
5
销售收入（万元）
10
22
40
48
（1）求销售收入关于广告费的线性回归方程；
（2）若该商品的成本（除广告费之外的其他费用）为万元，利用（1）中的回归方程求该商品利润的最大值（利润=销售收入－成本－广告费）.参考公式：，.
20．在△ABC中，D为BC边上一点， ，设，.
（1）试、用表示；
（2）若，，且与的夹角为60°，求及的值.
21．已知数列中，，前项的和为，且满足数列是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
画出长方体,将平移至,则,则即为异面直线与所成角,由余弦定理即可求解.
【详解】
根据题意,画出长方体如下图所示:

将平移至,则即为异面直线与所成角
,,
由余弦定理可得
故选:C
本题考查了长方体中异面直线的夹角求法,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
2、D
【解析】
将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得的值，进而求得的值.
【详解】
由得，依题意上述不等式的解集为，故，解得（舍去），故.
故选:D.
本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.
3、D
【解析】
在中，由正弦定理得到的长，在中，先得到的值，再利用余弦定理，求出的长.
【详解】
在中，由正弦定理，
得，
因为，，
所以，
在中，由余弦定理得

所以.
故选：D.
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.
4、A
【解析】
根据题意，画出示意图，求出点的坐标，进而利用两点之间距离公式求解.
【详解】
根据题意，作图如下：

已知直线AB的方程为：，则：
点P关于直线AB的对称点为，则：
，解得点，同理
可得点P关于直线OB的对称点为：
故光线的路程为.
故选：A.
本题考查点关于直线的对称点的求解、斜率的求解、以及两点之间的距离，属基础题.
5、A
【解析】
本题首先可以根据向量的运算得出，然后根据以及向量平行的相关性质即可得出四边形的形状．
【详解】
因为，所以，
因为，是不共线的非零向量，所以且，
所以四边形是梯形，故选A．
本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四边形是矩形，是简单题．
6、D
【解析】
令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数
在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围．
【详解】
令，得，
，令，
则，所以，，
构造函数，其中，由于，
，，
所以，当时，直线与函数在区间有交点，
因此，实数的取值范围是，故选D．
本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题．
7、D
【解析】
利用扇形面积，结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数的方程，即可解得.
【详解】
解：设扇形圆心角的弧度数为，
因为扇形所在圆的半径为，且该扇形的面积为，
则扇形的面积为，
解得：.
故选：D.
本题在已知扇形面积和半径的情况下，求扇形圆心角的弧度数，着重考查了弧度制的定义和扇形面积公式等知识，属于基础题.
8、A
【解析】
由向量减法法则计算．
【详解】
．
故选A．
本题考查向量的减法法则，属于基础题．
9、C
【解析】
根据是零点以及的纵坐标值，求解出的坐标值，然后进行数量积计算.
【详解】
令，且是第一个零点，则；令，是轴右侧第一个周期内的点，所以，则；则，，则.选C.
本题考查正切型函数以及坐标形式下向量数量积的计算，难度较易. 当已知，则有.
10、B
【解析】
先由函数图象与轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出的值，即可得出答案。
【详解】
解：由图象可得函数的周期∴，得，
将代入可得，∴ （注意此点位于函数减区间上）
∴
由可得，
∴点的坐标是，
故选：B．
本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：
①求、：，；
②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；
③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
运用指数方程的解法，结合指数函数的值域，可得所求解．
【详解】
由，即，
因，解得，即.
故答案：.
本题考查指数方程的解法，以及指数函数的值域，考查运算能力，属于基础题.
12、3
【解析】
分式上下为的二次多项式,故上下同除以进行分析.
【详解】
由题,,又,
故.
故答案为：3.
本题考查了分式型多项式的极限问题，注意：当时,
13、
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解．
【详解】
、为锐角，，
，，
，，
．
故答案为：．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
14、
【解析】
试题分析：由得：
解方程组：得：或
因为，所以所以不合题意，舍去
所以，所以，答案应填：.
考点：同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.
15、
【解析】
根据数据表求解出，代入回归直线，求得的值.
【详解】
根据表中数据得：，
又由回归方程知回归方程的斜率为
截距
本题正确结果：
本题考查利用回归直线求实际数据，关键在于明确回归直线恒过，从而可构造出关于的方程.
16、
【解析】
根据图像可得，根据0所在位置，处于函数的单调减区间，即可得解.
【详解】
由图可得：，或
由于0在函数的单调减区间内，
所以.
故答案为：
此题考查根据三角函数的图象求参数的取值，常用代入法求解，判定初相的取值时，根据图象结合单调性取值.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2) 30°或90°．
【解析】
（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆的一般方程，再化为标准方程；
解法二：求出线段和的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算为圆的半径，即可写出圆的标准方程；
（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，并对直线的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线的斜率不存在，得出直线的方程为，验算圆心到该直线的距离为；
二是当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并表示为一般式，利用圆心到直线的距离为得出关于的方程，求出的值．结合前面两种情况求出直线的倾斜角．
【详解】
（1）解法一：设圆的方程为，
则 ∴
即圆为，
∴圆的标准方程为；
解法二：则中垂线为,中垂线为，
∴圆心满足∴，
半径，
∴圆的标准方程为．
（2）①当斜率不存在时，即直线到圆心的距离为1，也满足题意，
此时直线的倾斜角为90°，
②当斜率存在时，设直线的方程为，
由弦长为4，可得圆心 到直线的距离为，
，
∴，此时直线的倾斜角为30°，
综上所述，直线的倾斜角为30°或90°．
本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离．
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）由题意结合正弦定理可得， 据此可证得平面，从而可得题中的结论；
（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由空间向量的结论求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.
【详解】
（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，
，，
，
平面，平面，平面平面.
（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则
设平面的一个法向量为
则解得，，
即
设平面的一个法向量为
则
解得，，即

由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19、（1）；（2）19.44（万无）
【解析】
（1）先求出，然后求出回归系数，得回归方程；
（2）由回归方程得估计销售收入，减去成本得利润，由二次函数知识得最大值．
【详解】
（1）由题意，，
所以，
，
所以回归方程为；
（2）由（1），
所以（万元）时，利润最大且最大值为19.44（万元）．
本题考查求线性回归直线方程，考查回归方程的应用．考查了学生的运算求解能力．
20、（1）
（2），
【解析】
（1）用表示，再用，表示即可；
（2）由向量数量积运算及模的运算即可得解.
【详解】
解：（1）因为，所以，
又，，
所以；
（2），，且与的夹角为60°，
所以，
则，
，
故.
本题考查了向量的减法运算，重点考查了向量数量积运算及模的运算，属基础题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意求出数列的通项公式，可解出，从而得出数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式裂项，利用裂项法求出，由得出，然后利用定义法判断出数列的单调性，求出数列的最小项，从而得出实数的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，又因为数列是公差为的等差数列，
所以，即；
（2）因为，
所以.
于是，即为，
整理可得.
设，则.
令，解得，，
所以，，
故数列的最大项的值为，故，
因此，实数的取值范围是.
本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立求参数，解题时利用参变量分离法转化为新数列的最值问题求解，同时也考查利用定义法判断数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.