2025届湖南省A佳教育大联盟高一下数学期末检测试题含解析.doc

2025届湖南省A佳教育大联盟高一下数学期末检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，,则的值为( )
A． B． C． D．
3．已知函数，若存在实数，满足，则实数的取值范围为（   ）
A． B．
C． D．
4．在中，角，，所对的边为，，，且为锐角，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于( )
A．10 B．12 C．15 D．30
7．已知一组正数的平均数为，方差为，则的平均数与方差分别为（ ）
A． B． C． D．
8．已知三个内角、、的对边分别是，若，则等于(　　)
A． B． C． D．
9．等差数列的前项之和为，若，则为（ ）
A．45 B．54
C．63 D．27
10．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线与圆交于两点，若，则____.
12．某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:
x

0
1
2
y
5

2
2
1
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:； 但现在丢失了一个数据，该数据应为____________.
13．已知，则的值为______
14．把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：

第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则________.
15．已知等差数列的前n项和为，若，，，则________
16．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则直线与平面所成的最大角的余弦值为________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，是菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，，．

（1）若，求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若，求直线与平面所成角的余弦值．
18．如图，在平面四边形中，，，的面积为．

⑴求的长；
⑵若，，求的长．
19．在中，分别是内角所对的边，已知．
（1）求角；
（2）若，求的周长．
20．已知函数，（，，）的部分图象如图所示，其中点是图象的一个最高点．

（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）已知且，求.
21．数列中，，.前项和满足.
（1）求（用表示）；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列，当时，；当时，.记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合：若不能，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
试题分析：，知偶函数，，知非奇非偶，知偶函数，，知奇函数.
考点：函数奇偶性定义.
2、B
【解析】
先利用面积公式得到，再利用余弦定理得到
【详解】

余弦定理：

故选B
本题考查了面积公式和余弦定理，意在考查学生的计算能力.
3、A
【解析】
根据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出， 再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围．
【详解】
由题意知，方程有解，
则，
化简得，即，
因为，所以，
当时，化简得， 解得；
当时，化简得， 解得，
综上所述的取值范围为．
故答案为：A
本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中利用题设条件化简，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
4、D
【解析】
利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】
由于，有正弦定理可得： ，即
由于在中，，，所以，
联立 ，解得：，
由于为锐角，且，所以
所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）
故答案选D
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
5、A
【解析】
先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．
【详解】
易求得线段的方程为，得，
由直线的方程得
，
当时，，此时，；
当时，，此时，．
因此，实数的取值范围是或，故选A．
本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题．
6、C
【解析】
因为等差数列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故选C.
7、C
【解析】
根据平均数的性质和方差的性质即可得到结果.
【详解】
根据平均数的线性性质，以及方差的性质：
将一组数据每个数扩大2倍，且加1，则平均数也是同样的变化，
方差变为原来的4倍，
故变换后数据的平均数为：；方差为4.
故选：C.
本题考查平均数和方差的性质，属基础题.
8、D
【解析】
根据正弦定理把边化为对角的正弦求解.
【详解】

本题考查正弦定理，边角互换是正弦定理的重要应用，注意增根的排除.
9、B
【解析】
由等差数列的性质，可知，利用等差数列的前n项和公式，即可求解．
【详解】
由等差数列的性质，可知，
又由等差数列的前n项和公式，可得，故选B．
本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及利用等差数列的求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10、A
【解析】
由已知利用余弦定理即可解得的值．
【详解】
解：，，，
由余弦定理可得：，
解得：，
故选：A．
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离： ，
由得，
解得.
本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.
12、4
【解析】
根据回归直线经过数据的中心点可求.
【详解】
设丢失的数据为，则，，
把代入回归方程可得，
故答案为：4.
本题主要考查回归直线的特征，明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
13、
【解析】
根据两角差的正弦公式，化简，解出的值，再平方，即可求解.
【详解】
由题意，可知，
，平方可得

则
故答案为：
本题考查三角函数常用公式关系转换，属于基础题.
14、
【解析】
第行有个数知每行数的个数成等比数列，要求，先要求出，就必须求出前行一共出现了多少个数，根据等比数列的求和公式可求，而由可知，每一行数的分母成等差数列，可求出，令，即可求出.
【详解】
由第行有个数，可知每一行数的个数成等比数列，首项是，公比是，
所以，前行共有个数，
所以，第行第一个数为，
，因此，.
故答案为：.
本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数阵的应用，同时要找出数阵的规律，考查推理能力，属于中等题.
15、1
【解析】
由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.
【详解】
根据题意，设等差数列公差为d，
则，
又由，，则，，
则，解可得；
故答案为1．
本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．
16、
【解析】
作的中心，可知平面，所以直线与平面所成角为，当在中点时，最大，求出即可。
【详解】
设正方体的边长为1，
连接，由于为正方体，所以为正四面体，棱长为，为等边三角形，作的中心，连接，，

由于为正四面体，为的中心，所以平面，
所以为直线与平面所成角，则当在中点时，最大，
当在中点时， 由于为正四面体，棱长为，等边三角形，为的中心，所以，，所以直线与平面所成的最大角的余弦值为
故直线与平面所成的最大角的余弦值为
故答案为
本题考查线面所成角，解题的关键是确定当在中点时，最大，考查学生的空间想象能力以及计算能力。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
（1）取的中点，连接，，从而可得为平行四边形，即可证明平面；
（2）只需证明平面．即可证明平面平面；
（3）作于，则为与平面所成角，在中，由余弦定理得即可．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，，

∵是菱形的对角线，的交点，
∴，且，
又∵，且，
∴，且，
从而为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面；
（2）∵四边形为菱形，∴，
∵，是的中点，∴，
又，∴平面，
又平面，
∴平面平面；
（3）作于，
∵平面平面，
∴平面，
则为与平面所成角，
由及四边形为菱形，得为正三角形，
则，，，
∴为正三角形，从而，
在中，由余弦定理，
得，
∴与平面所成角的余弦值为．
本题主要考查了空间线面位置关系、线面角的计算，属于中档题．
18、 (1) (2)
【解析】
（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长；
（2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长．
【详解】
⑴∵，，的面积为
∴
∴
∴由余弦定理得
∴
⑵由（1）知中，，
∴
∵,∴
又∵ ，
∴在中，由正弦定理得
即,∴
本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
19、（1）（2）6
【解析】
（1）由条件利用正弦定理求B的某个函数值，结合B的范围确定B的大小.
（2）由（1）及求得ac,再利用余弦定理可得.
【详解】
解：（1）因为，由正弦定理可得，
又,所以，
则，因为，
所以;
（2）由已知，所以,
由余弦定理得，
所以，则，
因此的周长为6.
本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积计算，有时利用整体运算可以起到事半功倍的作用，考查计算能力，属于中档题.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由最值和两个零点计算出和的值，再由最值点以及的的范围计算的值；
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）中解析式将表示出来，然后再利用两角和的正弦公式计算的值.
【详解】
解：（Ⅰ）由函数最大值为2，得
由
∴
又，，∴，，
又，∴
∴
（Ⅱ）∵，且，
∴
∴

根据三角函数图象求解析式的步骤：（1）由最值确定的值；（2）由周期确定的值；（3）由最值点或者图像上的点确定的取值.这里需要注意确定的值时，尽量不要选取平衡位置上的点，这样容易造成多解的情况.
21、（1）
（2）证明见详解.
（3）能取整数,此时的取值集合为.
【解析】
（1）利用递推关系式,令,通过,求出即可.
（2）递推关系式转化为：,化简推出数列是等比数列.
（3）由,求出,求出,得到通项公式,然后求解的分母与分子,讨论要使取整数,需为整数,推出的取值集合为时,取整数
【详解】
解：（1）令,则,
将,代入,有.
解得：.
（2）由
得,
化简得,又,
是等比数列.
（3）由,,
又是等比数列,
,
,
①当时,
依次为,
.
②当时,
,
,
,
要使取整数,需为整数,
令,,
,要么都为整数,要么都不是整数,
又
所以当且仅当为奇数时,为整数,
即的取值集合为时,取整数.
本题主要考查利用递推公式结合,为判断等比数列,考查数列前项和的比的问题的转化与化归思想的综合性解题能力.