2025届重庆市第八中学校数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025届重庆市第八中学校数学高一第二学期期末调研模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
3．已知中，，，的对边分别是，，，且，，，则边上的中线的长为( )
A． B．
C．或 D．或
4．法国“业余数学家之王”皮埃尔·德·费马在1936年发现的定理：若x是一个不能被质数p整除的整数，则必能被p整除，后来人们称为费马小定理.按照该定理若在集合中任取两个数，其中一个作为x，另一个作为p，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为（ ）．

A． B． C． D．
6．如图所示，向量，则（ ）

A． B． C． D．
7．已知函数相邻两个零点之间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，所得的函数图象关于轴对称，则的一个值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是(　　)
A． B． C． D．
9．在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为( )
A． B． C． D．
10．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，，，，则的面积是__________.
12．已知向量，的夹角为°，，，则______．
13．如图是一个三角形数表，记，，…，分别表示第行从左向右数的第1个数，第2个数，…，第个数，则当，时，______.

14．已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．
15．已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________．
16．已知求______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
18．在等差数列中，，，等比数列中，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；
（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；
（3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
20．
如图，四棱锥P －ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，
且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．
（1）求证：PB//平面EAC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）当为何值时，PB⊥AC ？
21．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价元
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
销量件
100
94
93
90
85
78
（1）若销量与单价服从线性相关关系，求该回归方程；
（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润。
附：对于一组数据，，……，
其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；
本题参考数值：．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正确选项即可.
【详解】
由题意观察选项，C的周期不是，所以C不正确；
对于A，，函数的周期为，但在区间上为增函数，故A不正确；
对于B，，函数的周期为，且在区间上为减函数，故B正确；
对于D，，函数的周期为，但在区间上为增函数，故D不正确；
故选：B
本题主要考查三角函数的性质，需熟记正弦、余弦、正切、余切的性质，属于基础题.
2、B
【解析】
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==181，
解得a1=1．
故选B．
3、C
【解析】
由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中线，在中，由余弦定理即可计算AB边上中线的长．
【详解】
解：，
由余弦定理，可得，
整理可得：，解得或1．
如图，CD为AB边上的中线，则，
在中，由余弦定理，可得：，或，
解得AB边上的中线或．
故选C．

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
4、A
【解析】
用列举法结合古典概型概率公式计算即可得出答案.
【详解】
用表示抽取的两个数，其中第一个为，第二个为
总的基本事件分别为：，，，共12种
其中所取的两个数符合费马小定理的基本事件分别为：，，共8种
则所取的两个数符合费马小定理的概率
故选：A
本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.
5、C
【解析】
通过中位线定理可以得到在正方体中，可以得到所以这样找到异面直线与所成角，通过计算求解．
【详解】
分别是中点，所以有而，因此
异面直线与所成角为在正方体中，,
所以，故本题选C．
本题考查了异面直线所成的角．
6、A
【解析】
根据平面向量的加法的几何意义、平面向量的基本定理、平面向量数乘运算的性质，结合
进行求解即可.
【详解】
.
故选：A
本题考查了平面向量基本定理及加法运算的几何意义，考查了平面向量数乘运算的性质，属于基础题.
7、D
【解析】
先求周期，从而求得，再由图象变换求得．
【详解】
函数相邻两个零点之间的距离为，则周期为，∴，
，图象向右平移个单位得，
此函数图象关于轴对称，即为偶函数，∴，，．
时，．
故选D．
本题考查函数的图象与性质．考查图象平衡变换．在由图象确定函数解析式时，可由最大值和最小值确定，由“五点法”确定周期，从而确定，再由特殊值确定．
8、C
【解析】
记事件,基本事件是线段的长度，如下图所示，作于，作于，根据三角形的面积关系得，再由三角形的相似性得，可得事件的几何度量为线段的长度，可求得其概率.
【详解】
记事件,基本事件是线段的长度，如下图所示，作于，作于，
因为，则有；化简得：，
因为，则由三角形的相似性得，
所以，事件的几何度量为线段的长度，
因为，所以的面积大于的概率．
故选：C

本题考查几何概型，属于基础题.常有以下一些方面需考虑几何概型，求解时需注意一些要点.
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域。
(3 )几何概型有两个特点:一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用"比例解法求解几何概型的概率.
9、A
【解析】
由得，，所以，由几何概型概率的计算公式得，，故选.
考点：1.几何概型；2.对数函数的性质.
10、A
【解析】
先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.
【详解】
由题得图像变换最后得到的解析式为，
令，
令k=-1,所以.
故选A
本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
计算，等腰三角形计算面积，作底边上的高，计算得到答案.
【详解】
，
过C作于D，则

故答案为
本题考查了三角形面积计算，属于简单题.
12、1
【解析】
把向量，的夹角为60°，且，，代入平面向量的数量积公式，即可得到答案．
【详解】
由向量，的夹角为°，且，，则.
故答案为1
本题考查了平面向量数量积的坐标表示，直接考查公式本身的直接应用，属于基础题．
13、
【解析】
由图表，利用归纳法，得出，再利用叠加法，即可求解数列的通项公式.
【详解】
由图表，可得，，，，，
可归纳为，
利用叠加法可得：
，
故答案为.
本题主要考查了归纳推理的应用，以及数列的叠加法的应用，其中解答中根据图表，利用归纳法，求得数列的递推关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
14、
【解析】
由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．
【详解】
由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,
∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．
故答案为：2π．
本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.
15、
【解析】

如图建立平面直角坐标系，
∴
，
当sin时，得到最小值为，故选．
16、23
【解析】
直接利用数量积的坐标表示求解.
【详解】
由题得.
故答案为23
本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）.
【解析】
（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.
【详解】
（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】
本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.
18、（1）， （2）
【解析】
（1）根据等差数列的通项公式求出首项，公差和等比数列的通项公式求出首项，公比即可.
(2)由用错位相减法求和.
【详解】
（1）在等差数列中，设首项为，公差为.
由，有 ，解得：
所以
又设的公比为，由，，得
所以.
(2)
…………………………………①
……………②
由①－②得

所以
本题考查求等差、等比数列的通项公式和用错位相减法求和,属于中档题.
19、（1）动点的轨迹方程为，曲线是以为圆心，2为半径的圆（2）的方程为或.（3）证明见解析，所有定点的坐标为，
【解析】
（1）利用两点间的距离公式并结合条件，化简得出曲线的方程，根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状；
（2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程；
（3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用
，解出方程组可得出所过定点的坐标.
【详解】
（1）由题意得，化简可得：，
所以动点的轨迹方程为.
曲线是以为圆心，为半径的圆；
（2）①当直线斜率不存在时，，不成立；
②当直线的斜率存在时，设，即，
圆心到的距离为 ∵
∴, 即，解得或，
∴的方程为或；
（3）证明：∵在直线上，则设
∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得，
∴经过的三点的圆是以为直径的圆，
则方程为，
整理可得,
令，且,
解得或
则有经过三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.
本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题．
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
1）连结BD交AC于O，连结EO,由EO//PB可证PB//平面EA．
（2）由侧面PAD⊥底面ABCD，，可证，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．
（3）设N为AD中点，连接PN，则，可证PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．
【详解】
（1）连结BD交AC于O，连结EO,
因为O，E分别为BD.PD的中点, 所以EO//PB,
,所以PB//平面EAC．
（2）
正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，
又，所以，AE⊥平面PCD．
（3）设N为AD中点，连接PN，则．
又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．
所以，NB为PB在面ABCD上的射影．
要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x,
由,得∽，
解之得：,
所以，当 时，PB⊥AC．
本题综合考查线面平行的判定，线面垂直的判定，及探索性问题找异面直线垂直，第三问难度较大，需要把异面直线垂直转化为射影垂直，即共面垂直问题．
21、（1）（2）为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.
【解析】
（1）先根据公式求，再根据求即可求解；（2）先求出利润的函数关系式，再求函数的最值.
【详解】
解: （1）=
…
又
所以

故回归方程为
（2）设该产品的售价为元，工厂利润为元，当时，利润，定价不合理。
由得，故

，
，
当且仅当，即时，取得最大值.
因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.
本题考查线性回归方程和二次函数的最值. 线性回归方程的计算要根据已知选择合适的公式.求二次函数的最值常用方法：1、根据函数单调性；2、配方法；3、基本不等式，注意等式成立的条件.