上海市四区2025年高一数学第二学期期末综合测试试题含解析.doc

上海市四区2025年高一数学第二学期期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设为正数，为的等差中项，为的等比中项，则与的大小关为( )
A． B． C． D．
2．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
3．数列的通项，其前项和为，则为（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（　　）
A． B． C． D．
5．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

A． B．
C． D．
6．已知向量，，若，则锐角α为( )
A．45° B．60° C．75° D．30°
7．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
8．已知函数，在下列函数图像中，不是函数的图像的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则下列4个角中与角终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
10．设集合，，若存在实数t，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列中，其前项和为，，则_____.
12．设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝(－1)nan－，n∈N，则a3＝________．
13．在中，角A，B，C的对边分别为，若,则此三角形的最大内角的度数等于________．
14．已知，则____________________________．
15．若三点共线则的值为________.
16．不等式x（2x﹣1）＜0的解集是_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
18．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD="40" m,则电视塔的高度为多少？

19．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.
（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
20．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
21．已知，，分别为内角，，的对边，且.
（1）求角；
（2）若，，求边上的高.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由等差中项及等比中项的运算可得，，再结合即可得解.
【详解】
解：因为为正数，为的等差中项，为的等比中项，
则，，
又，当且仅当时取等号，
又，
所以，
故选：B.
本题考查了等差中项及等比中项的运算，重点考查了重要不等式的应用，属基础题.
2、A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得

，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
3、A
【解析】
分析：利用二倍角的余弦公式化简得，根据周期公式求出周期为，从而可得结果.
详解：首先对进行化简得，又由关于的取值表：

1
2
3
4
5
6

可得的周期为，则可得，
设，
则，故选A．
点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.
4、D
【解析】
根据任意角三角函数定义可求得；根据诱导公式可将所求式子化为，代入求得结果.
【详解】
由得：

本题正确选项：
本题考查任意角三角函数值的求解、利用诱导公式化简求值问题；关键是能够通过角的终边上的点求得角的三角函数值.
5、B
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，故选B．

考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．
6、D
【解析】
根据向量的平行的坐标表示，列出等式，即可求出．
【详解】
因为，所以，又为锐角，因此，
即，故选D．
本题主要考查向量平行的坐标表示．
7、A
【解析】
试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.
【考点】 正方体的性质，球的表面积
【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.
8、C
【解析】
根据幂函数图像不过第四象限选出选项.
【详解】
函数为幂函数，图像不过第四象限，所以C中函数图像不是函数的图像.
故选：C.
本小题主要考查幂函数图像不过第四象限，属于基础题.
9、C
【解析】
先写出与角终边相同的角的集合，再给k取值得解.
【详解】
由题得与角终边相同的集合为,
当k=6时，.
所以与角终边相同的角为.
故选C
本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
10、C
【解析】
得到圆心距与半径和差关系得到答案.
【详解】
圆心距

存在实数t，使得

故答案选C
本题考查了两圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
本题主要考查了已知数列的通项式求前和，根据题目分奇数项和偶数项直接求即可。
【详解】
，
则
．
故答案为：1．
本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。属于基础题。
12、－
【解析】当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝－a3－，则a1＋a2＋2a3＝－，当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，两式相减得a3＝－.
13、
【解析】
根据大角对大边，利用余弦定理直接计算得到答案.
【详解】
在中，角A，B，C的对边分别为，若
不妨设三边分别为：3,5,7
根据大角对大边：角C最大

故答案为
本题考查了余弦定理，属于简单题.
14、
【解析】
分子、分母同除以，将代入化简即可.
【详解】
因为，
所以,
故答案为.
本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
15、
【解析】
根据三点共线与斜率的关系即可得出．
【详解】
kAB1，kAC．
∵三点共线，
∴﹣1，解得m＝．
故答案为．
本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16、
【解析】
求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集，得到答案．
【详解】
由不等式对应方程的实数根为0和，
所以该不等式的解集是．
故答案为：．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），.
【解析】
（1）先求出公差和首项，可得通项公式；
（2）由（1）可得前项和，由二次函数性质可得最小值（只要注意取正整数）．
【详解】
（1）设的公差为，
由题意得，，
解得，.
所以的通项公式为.
（2）由（1）得
因为
所以当或时，取得最小值，最小值为-30.
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，方法叫基本量法．
18、40m．
【解析】
试题分析：本题是解三角形的实际应用题，根据题意分析出图中的数据，
即∠ADB=30°，∠ACB=45°，
所以，可以得出在Rt△ABD中，BD=AB，在Rt△ABC中，∴BC=AB．
在△BCD中，由余弦定理，得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，
代入数据，运算即可得出结果．
试题解析：根据题意得，在Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB．
在△BCD中，由余弦定理，得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，
∴3AB2=AB2+CD2-2AB·CDcos120°
整理得AB2-20AB-800=0，
解得，AB=40或AB=-20（舍）．
即电视塔的高度为40 m
考点：解三角形．
19、（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.
【解析】
试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式： ，由投入的肥料费用不超过5百元及实际意义得定义域，（2）利用基本不等式求最值：先配凑： ，再根据一正二定三相等求最值.
试题解析：解：（1） （）.
（2）
.
当且仅当时，即时取等号.
故.
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
21、 (1) ； (2)
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得，进而求得的大小.（2）利用正弦定理求得，进而求得的大小，由此求得的值，根据求得边上的高.
【详解】
解：（1）∵
∴
∴
∴
∴
即：，

∴
（2）由正弦定理：，∴
∵∴∴
∴
设边上的高为，则有
本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.