2025年山东省淄博市实验中学、第五中学、高青县第一中学高一数学第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年山东省淄博市实验中学、第五中学、高青县第一中学高一数学第二学期期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，则( )
A． B．
C． D．
2．若角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．不存在
3．在一个平面上，机器人到与点的距离为8的地方绕点顺时针而行，它在行进过程中到经过点与的直线的最近距离为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图像如图所示，则

A．
B．
C．
D．
5．如图所示四棱锥的底面为正方形，平面则下列结论中不正确的是（ ）

A． B．平面
C．直线与平面所成的角等于30° D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
6．已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（ ）.
A． B．
C． D．
7．为了解名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
10．若各项为正数的等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．9 B．14 C．7 D．18
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列的前项和为，若，则______.
12．若是三角形的内角，且，则等于_____________．
13．已知函数，的最小正周期是___________.
14．已知函数，对于上的任意，，有如下条件：
①； ②；③；④．
其中能使恒成立的条件序号是__________．
15．已知等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和＝________．
16．设为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个判断:
①若则；
②若是在内的射影，，则；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；
其中正确的为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求函数的单调递增区间.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求：
（2）求的面积.
19．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，S6＝.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
20．已知数列的前项和，满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；
21．已知向量.
（1）若，且，求实数的值；
（2）若，且与的夹角为，求实数的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.
【详解】
a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°
∵，∴可得：∈（，），＝.
故选A．
这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.
2、B
【解析】
由三角函数的定义可得：，得解.
【详解】
解：在单位圆中，，
故选B.
本题考查了三角函数的定义，属基础题.
3、A
【解析】
由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离．
【详解】
解：机器人到与点距离为8的地方绕点顺时针而行，
在行进过程中保持与点的距离不变，
机器人的运行轨迹方程为，如图所示；
与，
直线的方程为，即为，
则圆心到直线的距离为，
最近距离为．
故选．

本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．
4、A
【解析】
试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.
【考点】 三角函数的图像与性质
【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．
5、C
【解析】
根据空间中垂直关系的判定和性质，平行关系的判定和性质，以及线面角的相关知识，对选项进行逐一判断即可.
【详解】
对A：因为底面ABCD为正方形，故ACBD，
又SD底面ABCD，AC平面ABCD，故SDAC，
又BD平面SBD，SD平面SBD，故AC平面SBD，
又SB平面SBD，故AC.
故A正确；
对B：因为底面ABCD为正方形，故AB//CD，
又CD平面SCD，故AB//平面SCD.
故B正确.
对C：由A中推导可知AC平面SBD，故取AC与BD交点为O，连接SO，如图所示：

则即为所求线面角，但该三角形中边长关系不确定，
故线面角的大小不定，
故C错误；
对D：由AC平面SBD，故取AC与BD交点为O，连接SO，
则即为SA和SC与平面SBD所成的角，
因为，故，
故D正确.
综上所述，不正确的是C.
故选：C.
本题综合考查线面垂直的性质和判定，线面平行的判定，线面角的求解，属综合基础题.
6、D
【解析】
利用赋值法逐项排除可得出结果.
【详解】
对于A选项，，不合乎题意；
对于B选项，，不合乎题意；
对于C选项，，不合乎题意；
对于D选项，当为奇数时，，此时，
当为偶数时，，此时，合乎题意.
故选：D.
本题考查利用观察法求数列的通项，考查推理能力，属于中等题.
7、C
【解析】
试题分析：由题意知，分段间隔为，故选C.
考点：本题考查系统抽样的定义，属于中等题.
8、D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．
【详解】
由线性约束条件作出可行域，如下图三角形阴影部分区域（含边界），令，直线：，平移直线，当过点时取得最大值，当过点时取得最小值，所以的取值范围是.

本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．
9、B
【解析】
试题分析：，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为1.4，
∴42=1．4×2．5+a，
∴=1．1，
∴线性回归方程是y=1．4x+1．1，
∴广告费用为6万元时销售额为1．4×6+1．1=3．5
考点：线性回归方程
10、B
【解析】
根据等差中项定义及条件式,先求得.再由等差数列的求和公式,即可求得的值.
【详解】
数列为各项是正数的等差数列
则由等差中项可知
所以原式可化为,所以
由等差数列求和公式可得

故选:B
本题考查了等差中项的性质,等差数列前n项和的性质及应用,属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用和的关系计算得到答案.
【详解】

当时， 满足通项公式
故答案为
本题考查了和的关系，忽略的情况是容易发生的错误.
12、
【解析】
∵是三角形的内角，且，
∴
故答案为
点睛：本题是一道易错题，在上，，分两种情况：若，则；若，则有两种情况锐角或钝角.
13、
【解析】
先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.
【详解】
由题得，
所以函数的最小正周期为.
故答案为
本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14、③④
【解析】
∵g（x）= [（﹣x）2﹣cos（﹣x）]= [x2﹣cosx]=g（x），
∴g（x）是偶函数，∴g（x）图象关于y轴对称，
∵g′（x）=x+sinx＞0，x∈（0，]，
∴g（x）在（0，]上是增函数，在[﹣，0）是减函数，
故③x1＞|x2|；④时，g（x1）＞g（x2）恒成立，
故答案为：③④．
点睛：此题考查的是函数的单调性的应用；已知表达式，根据表达式判断函数的单调性，和奇偶性，偶函数在对称区间上的单调性相反，根据单调性的定义可知，增函数自变量越大函数值越大，减函数自变量越大函数值越小。
15、
【解析】
试题分析：根据题意，由于等比数列中，，，则可知公比为，那么可知等比数列中，，，故可知，那么可知数列的前项和＝1=，故可知答案为．
考点：等比数列
点评：主要是考查了等比数列的通项公式以及数列的求和的运用，属于基础题．
16、①②
【解析】
对四个命题分别进行判断即可得到结论
【详解】
①若，垂足为，与确定平面，，则，
，则，
，则，故，故正确
②若，是在内的射影，，根据三垂线定理，可得，故正确
③底面是等边三角形，侧面都是有公共顶点的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故不正确
④若球的表面积扩大为原来的倍，则半径扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的倍，故不正确
其中正确的为①②
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系、球的体积等知识点，数量掌握各知识点然后对其进行判断，较为基础。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（）
【解析】
先化简函数得到,再利用复合函数单调性原则结合整体法求单调区间即可.
【详解】
,
令,则,
因为是的一次函数,且在定义域上单调递增,
所以要求的单调递增区间,即求的单调递减区间,
即(),
∴(),
即(),
∴函数的单调递增区间为().
本题考查求复合型三角函数的单调区间,答题时注意,复合函数的单调性遵循“同增异减”法则.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由已知可先求，然后结合正弦定理可求的值；
（2）利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
（1），，，
，由正弦定理，可得：.
（2），
．
本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
19、（1）an＝a1qn－1＝2n－2；（2）Tn＝n2－n..
【解析】
(1)根据等比数列的通项公式和前 项求得.
(2)将 代入 中，得是等差数列，再求和.
【详解】
(1) ∴，解得
∴
(2 )
∴∴数列是等差数列．
又∴
本题考查等比数列和等差数列的通项和前项和，属于基础题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）已知求，利用即可求出；（2）根据数列
通项公式特征，采取分组求和法和错位相减法求出
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，所以；
当时， ，
即，，因为，所以，
，即，当时，也符合公式．
综上，数列的通项公式为．
（2）因为，所以

（ ）
由得，
两式作差得， ，
即 ，故．
本题主要考查求数列通项的方法——公式法和构造法的应用， 以及数列的求和方法——分组求和法和错位相减法的应用．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据平面向量加法和数乘的坐标表示公式、数量积的坐标表示公式，结合两个互相垂直的平面向量数量积为零，进行求解即可；
（2）利用平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
（1）当时，.
因为，所以；
（2）当时，所以有，因为与的夹角为，
所以有.
本题考查了平面向量运算的坐标表示公式，考查了平面向量夹角公式，考查了数学运算能力.