2025届黑龙江省哈尔滨市第三十二中学数学高一下期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025届黑龙江省哈尔滨市第三十二中学数学高一下期末质量跟踪监视模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是第二象限角,（ ）
A． B． C． D．
2．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则是异面直线
D．若，，，则
4．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．直线的倾斜角为
A． B． C． D．
6．设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．已知圆，设平面区域，若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为 （ ）
A．5 B．29 C．37 D．49
8．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，
顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，
该八边形的面积为

A．； B．
C． D．
9．已知为锐角，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．数列中，，且，则数列前2019项和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．382与1337的最大公约数是__________.
12．在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义： ，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ．
13．已知为锐角，则_______.
14．已知是等差数列，公差不为零，若，，成等比数列，且，则________
15．向量．若向量，则实数的值是________．
16．如图是一个三角形数表，记，，…，分别表示第行从左向右数的第1个数，第2个数，…，第个数，则当，时，______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，.
（1若，求实数的值：
（2）若，求实数的值.
18．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间：
(2)求函数在区间上的最大值及取最大值时的集合.
19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，三个点，B、C均在圆上，
（1）求该圆的圆心的坐标；
（2）若，求直线BC的方程；
（3）设点满足四边形TABC是平行四边形，求实数t的取值范围.
20．已知函数，若，且，，求满足条件的，.
21．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．
（1）求cos∠C的值；
（2）求△ABC的面积．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.
2、C
【解析】
试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.
考点：分层抽样．
3、A
【解析】
利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.
【详解】
对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确.
对于B，若，，则或，故B错误.
对于C，若，，则位置关系为平行或相交或异面，故C错误.
对于D，若，，，则位置关系为平行或异面，故D错误.
故选：A
本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质，属于简单题.
4、D
【解析】
根据点到直线的距离公式列式求解参数即可.
【详解】
由题,,因为,故.
故选：D
本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题.
5、D
【解析】
求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.
【详解】
依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为，故选D.
本小题主要考查由直线一般式求斜率和倾斜角，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
6、C
【解析】
利用向量可以作为基底的条件是，两个向量不共线，由此分别判定选项中的两个向量是否共线即可．
【详解】
由是平面内的一组基底，所以和不共线，
对应选项A：，所以这2个向量共线，不能作为基底；
对应选项B：，所以这2个向量共线，不能作为基底；
对应选项D：，所以这2个向量共线，不能作为基底；
对应选项C：与不共线，能作为基底.
故选：C．
本题主要考查基底的定义，判断2个向量是否共线的方法，属于基础题．
7、C
【解析】
试题分析：作出可行域如图，

圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1的圆心为，半径的圆，因为圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，可得，所以所以要使a2＋b2取得的最大值，只需取得最大值，由图像可知当圆心C位于B点时，取得最大值，B点的坐标为，即时是最大值.
考点：线性规划综合问题.
8、A
【解析】
试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】
本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案.
9、D
【解析】
由，得，，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，
所以，，
所以.
故选：D
本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值.
10、B
【解析】
由，可得，化为：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂项求和法即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
整理得：，
∴，又
∴，
可得：．
则数列前2019项和为：．
故选B．
本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、191
【解析】
利用辗转相除法，求382与1337的最大公约数.
【详解】
因为，，所以382与1337的最大公约数为191，故填：.
本题考查利用辗转相除法求两个正整数的最大公因数，属于容易题.
12、
【解析】试题分析：根据正余弦函数的定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.
考点：三角函数的概念.
13、
【解析】
利用同角三角函数的基本关系得，再根据角度关系，利用诱导公式即可得答案.
【详解】
∵且，∴；
∵，
∴.
故答案为：.
本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号问题.
14、
【解析】
根据题设条件，得到方程组，求得，即可得到答案.
【详解】
由题意，数列是等差数列，满足，，成等比数列，且，
可得，即且，
解得，
所以.
故答案为：.
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等比中项的应用，其中解答中熟练利用等差数列的通项公式和等比中项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15、-3
【解析】
试题分析：∵，∴，又∵，∴，∴，∴
考点：本题考查了向量的坐标运算
点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题
16、
【解析】
由图表，利用归纳法，得出，再利用叠加法，即可求解数列的通项公式.
【详解】
由图表，可得，，，，，
可归纳为，
利用叠加法可得：
，
故答案为.
本题主要考查了归纳推理的应用，以及数列的叠加法的应用，其中解答中根据图表，利用归纳法，求得数列的递推关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）首先求出，的坐标，再利用向量共线定理即可得出．
（2），根据，得到即可得出．
【详解】
解：（1）因为，.
，，
，，
解得．
（2）因为，
，

，
，解得．
本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18、（1）, 单调递增区间为；（2）最大值为, 取最大值时，的集合为.
【解析】
（1）对进行化简转换为正弦函数，可得其最小正周期和递增区间；（2）根据（1）的结果，可得正弦函数的最大值和此时的的集合.
【详解】
解：（1）
∴.
增区间为：即
单调递增区间为
（2）当时，的最大值为，
此时，

∴取最大值时，的集合为.
本题考查二倍角公式和辅助角公式以及正弦函数的性质，属于基础题.
19、（1）（2）或（3），
【解析】
（1）将点代入圆的方程可得的值，继而求出半径和圆心（2）可设直线方程为：，可得圆心到直线的距离，结合弦心距定理可得的值，求出直线方程（3）设，，，，因为平行四边形的对角线互相平分，得，，于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆上有公共点，即可求解．
【详解】
（1）将代入圆
得，
解得，
．半径．
（2），
，且，
设直线，即，
圆心到直线的距离，
由勾股定理得，
，
，
，
或，
所以直线的方程为或．
（3）设，，，，
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以①，
因为点在圆上，
所以②
将①代入②，得
，
于是点既在圆上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
所以，
解得．
因此，实数的取值范围是，．
本题考查了直线与圆的关系，涉及了向量知识，弦心距公式，点到直线的距离公式等内容，综合性较强，难度较大．
20、，
【解析】
利用三角恒等变换，化简的解析式，从而得出结论．
【详解】
解：

，
∴，
待定系数，可得，又，
∴，
∴，.
本题主要考查三角恒等变换，属于基础题．
21、（1）（2）
【解析】
（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值．
（2）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
（1）由题意，BC=7，AB=3，∠A=60°．
∴由正弦定理可得：sinC=
∵BC＞AB，∴C为锐角，∴cosC===，
（2）因为A+B+C=π，A=60°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=，
∴S△ABC=BC•AB•sinB=．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．