2024-2025学年江西省抚州市临川实验学校数学高一第二学期期末复习检测试题含解析.doc

2024-2025学年江西省抚州市临川实验学校数学高一第二学期期末复习检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知且为常数,圆,过圆内一点的直线与圆相交于两点,当弦最短时,直线的方程为,则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
3．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设a，b，c为的内角所对的边，若，且，那么外接圆的半径为　　
A．1 B． C．2 D．4
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）

A．AC B．A1D1 C．A1D D．BD
6．若且，则的最小值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．16
7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
8．阅读如图的程序框图，运行该程序，则输出的值为（ ）

A．3 B．1
C．-1 D．0
9．已知中，，，，则B等于（　　）
A． B．或 C． D．或
10．平面向量与共线且方向相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知空间中的三个顶点的坐标分别为
，则BC边上的中线的长度为________．
12．数列满足，则________.
13．化简：________
14．若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是___________.
15．若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为________．
16．己知为数列的前项和，且，则_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图. 利用频率分布直方图求：

（1）这50名学生成绩的众数与中位数；
（2）这50名学生的平均成绩.（答案精确到0.1）
18．已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，且，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．
20．对于三个实数、、，若成立，则称、具有“性质”.
（1）试问：①，0是否具有“性质2”；
②（），0是否具有“性质4”；
（2）若存在及，使得成立，且
，1具有“性质2”，求实数的取值范围；
（3）设，，，为2019个互不相同的实数，点（）
均不在函数的图象上，是否存在，且，使得、
具有“性质2018”，请说明理由.
21．已知函数满足且.
（1）当时，求的表达式；
（2）设，求证：；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x﹣y＝0垂直，再由斜率的关系列式求解．
【详解】
圆C：化简为
圆心坐标为，半径为．
如图，

由题意可得，当弦最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线垂直．
则，即a＝1．
故选：B．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.
2、A
【解析】
数列是等比数列与命题是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
【详解】
若数列是等比数列，则，∴，∴数列是等比数列，
若数列是等比数列，则，∴，∴数列不是等比数列，
∴数列是等比数列是数列是等比数列的充分非必要条件，
故选：A．
本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题．
3、B
【解析】
利用向量的数量积运算即可算出．
【详解】
解：

，，

又在上
，

故选：
本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．
4、A
【解析】
由 得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A= ．再利用正弦定理可得 2R= ，可得R.
【详解】
∵ ,∴,
整理得b2+c2-a2=bc，
根据余弦定理cosA= ，可得cosA=
∵A∈（0，π），∴A=
由正弦定理可得2R== ,解得R=1，故选A
已知三边关系，可转化为接近余弦定理的形式，直接运用余弦定理理解三角形，注意整体代入思想.
5、D
【解析】
在正方体内结合线面关系证明线面垂直，继而得到线线垂直
【详解】
，平面，平面，
则平面
又因为平面
则
故选D
本题考查了线线垂直，在求解过程中先求得线面垂直，由线面垂直的性质可得线线垂直，从而得到结果
6、D
【解析】
试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为16
考点：均值不等式求最值
7、C
【解析】
将角C用角A角B表示出来，和差公式化简得到答案.
【详解】
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

角A，B，C为△ABC的内角

故答案选C
本题考查了三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.
8、D
【解析】
从起始条件、开始执行程序框图，直到终止循环.
【详解】
，
，
，
，
，
输出.
本题是直到型循环，只要满足判断框中的条件，就终止循环，考查读懂简单的程序框图.
9、D
【解析】
根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．
【详解】
由题意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，
由得，sinB，
又b＞a，0°＜B＜180°，
则B＝60°或B＝120°，
故选：D．
本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．
10、C
【解析】
利用向量共线的坐标运算求解，验证得答案．
【详解】
向量与共线，，解得．
当时，，，
与共线且方向相同．
当时，，，
与共线且方向相反，舍去．
故选．
本题考查向量共线的坐标运算，是基础的计算题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先求出BC的中点，由此能求出BC边上的中线的长度.
【详解】
解：因为空间中的三个顶点的坐标分别为，
所以BC的中点为，
所以BC边上的中线的长度为：，
故答案为：.
本题考查三角形中中线长的求法，考查中点坐标公式、两点间距离的求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12、
【解析】
根据题意可求得和的等式相加，求得，进而推出，判断出数列是以6为周期的数列，进而根据求出答案。
【详解】

将以上两式相加得

数列是以6为周期的数列，故
对于递推式的使用，我们可以尝试让取或，又得一个递推式，将两个递推式相加或者相减来找规律，本题是一道中等难度题目。
13、
【解析】
根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得.
故答案为：.
本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
若直线与直线的交点位于第一象限，如图所示：

则两直线的交点应在线段上（不包含点）, 当交点为时，直线的倾斜角为，当交点为时，斜率，直线的倾斜角为
∴直线的倾斜角的取值范围是．
故答案为
15、
【解析】
首先根据题意画出图形，再根据求出直线的倾斜角，求斜率即可.
【详解】
如图所示

直线与圆恒过定点，不妨设，
因为，
所以，
两种情况讨论，
可得，.
所以斜率.
故答案为：
本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.
16、
【解析】
根据可知，得到数列为等差数列；利用等差数列前项和公式构造方程可求得；利用等差数列通项公式求得结果.
【详解】
由得：，即：
数列是公差为的等差数列
又 ，解得：

本题正确结果：
本题考查等差数列通项公式、前项和公式的应用，关键是能够利用判断出数列为等差数列，进而利用等差数列中的相关公式来进行求解.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）众数为75分，中位数为分；（2）76.2分
【解析】
（1）由众数的概念及频率分布直方图可求得众数，根据中位数的概念可求得中位数；
.
（2）由平均数的概念和频率直方图可求得平均数.
【详解】
（1）由众数的概念及频率分布直方图可知，这50名学生成绩的众数为75分.
因为数学竞赛成绩在的频率为，数学竞赛成绩在的频率为.
所以中位数为.
（2）这50名学生的平均成绩为
.
本题考查根据频率直方图求得数字特征，关键在于理解各数字特征的含义，属于基础题.
18、（1）；（2）或
【解析】
（1）根据向量平行的坐标公式得出，利用二倍角公式以及弦化切即可得出答案；
（2）利用向量的模长公式得出，由二倍角公式以及降幂公式，辅助角公式得出，结合正弦函数的性质得出的值.
【详解】
（1）由，得，所以.
所以.
（2）由，得
所以，所以，所以.
因为，所以，所以或
解得或.
本题主要考查了由向量平行求参数，模长公式，简单的三角恒等变换以及正弦函数的性质的应用，属于中档题.
19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）线线垂直先求线面垂直，即平面，进而可得；
（Ⅱ）连接D与PC的中点F，只需证明即可．
【详解】
（Ⅰ）因为，所以．
因为平面平面，且平面平面，所以平面．
因为平面，所以．
（Ⅱ）证明：取中点，连接，． 因为为中点，
所以，且． 因为，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形． 所以．
因为平面，平面，所以平面．

此题考查立体几何证明，线线垂直一般通过线面垂直证明，线面平行只需在面内找到一个线与已知线平行即可，题目中出现中点一般也要在找其他中点连接，属于较易题目．
20、（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）；（3）存在.
【解析】
（1）①根据题意需要判断的真假即可② 根据题意判断是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出的范围，由存在性问题成立转化为 ，根据函数的性质求最值即可求解.
【详解】
（1）①因为，成立,
所以，故，0具有“性质2”
②因为，设，则
设，
对称轴为，
所以函数在上单调递减，当时，，
所以当时，不恒成立，
即不成立，
故（），0不具有“性质4”.
（2）因为，1具有“性质2”
所以
化简得
解得或 .
因为存在及，使得成立，
所以存在 及使 即可.
令，则，
当时，，
所以在上是增函数，
所以时，，当时，，
故时，
因为在上单调递减，在 上单调递增，
所以，
故只需满足即可，解得.
（3）假设具有“性质2018”，则，
即证明在任意2019个互不相同的实数中，一定存在两个实数,满足：
.
证明：
由，
令，由万能公式知，
将等分成2018个小区间，则这2019个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：，即，
也就是说，在，，，这2019个数中，一定有两个数满足，
即一定存在两个实数，满足，
从而得证.
本题主要考查了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考查了创新能力，属于难题.
21、（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1）令，将函数表示为等比数列，根据等比数列公式得到答案.
（2）将表示出来，利用错位相减法得到前N项和，最后证明不等式.
【详解】
（1）令，得，
∴，即
（2），设，则
，①
，②来
①-②得

，

本题考查了函数与数列的关系，错位相减法，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.