2025年江苏省南京师范大学附属中学数学高一第二学期期末统考试题含解析.doc

2025年江苏省南京师范大学附属中学数学高一第二学期期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，已知，，则角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为( )
50 44 66 44 29 67 06 58 03 69 80 34 27 18 83 61 46 42 23
91 67 43 25 74 58 83 11 03 30 20 83 53 12 28 47 73 63 05
A．42 B．36 C．22 D．14
4．直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
5．记等差数列的前n项和为.若，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A．8岁 B．11岁 C．20岁 D．35岁
7．已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，满足且，若向量在向量方向上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（ ）

A．立方丈 B．立方丈
C．立方丈 D．立方丈
10．已知：，，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.
12．若为的最小内角，则函数的值域为_____．
13．若角的终边经过点，则实数的值为_______.
14．定义运算，如果，并且不等式对任意实数x恒成立，则实数m的范围是______.
15．若集合，，则集合________.
16．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列满足：
（1）设数列满足，求的前项和：
（2）证明数列是等差数列，并求其通项公式；
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面⊥底面，若分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面．
19．已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.

（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为1．求的值；
（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值
20．已知为等差数列，且，．
求的通项公式；
若等比数列满足，，求的前n项和公式．
21．某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的1000名群众中随机抽取n名群众，按他们的年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，其中第1组有6人，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求m，n的值，并估计抽取的n名群众中年龄在的人数；
（2）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女生的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
令，根据正弦型函数的性质可得，那么，可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题．
【详解】
由题意，令，可得，，
∴，
∴原函数的值域与函数的值域相同．
∵函数图象的对称轴为，
，取得最大值为．
故选：D．
本题考查三角函数中的恒等变换、函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的使用，将问题转化为二次函数的值域问题.
2、D
【解析】
由，根据正弦定理可得：，由角范围可得的范围，结合三角形的性质以及正弦函数的图像即可得到角的取值范围
【详解】
由于在中，有，根据正弦定理可得，
由于，即，则，即
由于在三角形中，，由正弦函数的图像可得：；
故答案选D
本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及三角函数图像的应用，属于中档题．
3、C
【解析】
通过随机数表的相关运算即可得到答案.
【详解】
随机数表第1行的第8列和第9列数字为42，由左至右选取两个数字依次为42，36，03，14，22，选出的第5个个体的编号为22，故选C.
本题主要考查随机数法，按照规则进行即可，难度较小.
4、A
【解析】
化直线方程为斜截式求解．
【详解】
直线可化为，
∴直线的斜率是，
故选：A.
本题考查直线方程，将一般方程转化为斜截式方程即可得直线的斜率，属于基础题.
5、D
【解析】
由可得值，可得可得答案.
【详解】
解：由，可得，
所以，从而，
故选D.
本题主要考察等差数列的性质及等差数列前n项的和，由得出的值是解题的关键.
6、B
【解析】
九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．
【详解】
由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．记最小的儿子年龄为，则，解得．
故选B．
本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．
7、D
【解析】
设直线的方程为，代入点（1,0）的坐标即得解.
【详解】
设直线的方程为，
由题得.
所以直线的方程为.
故选D
本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
8、A
【解析】
由，即，
所以，
由向量在向量方向上的投影为，则，
即，所以，故选A．
9、A
【解析】
过点分别作平面和平面 垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以立方丈，故选A.

10、B
【解析】
，所以
因此
，选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.
【详解】
由题意可得平移后的函数表达式为，
图象正好关于原点对称，
即，
又 ，的最小值为.
故答案为：.
本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.
12、
【解析】
依题意， ，利用辅助角公式得，利用正弦函数的单调性即可求得的取值范围，在利用换元法以及同角三角函数基本关系式把所求问题转化结合基本不等式即可求解．
【详解】
∵为的最小内角，故，
又，
因为，故，
∴取值范围是．
令，则且
∴，令，
由双勾函数可知在上为增函数，故，
故.
故答案为：.
本题考查同角的三角函数的基本关系、辅助角公式以及正弦型函数的值域，注意根据代数式的结构特点换元后将三角函数的问题转化为双勾函数的问题，本题属于中档题．
13、.
【解析】
利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.
【详解】
由诱导公式得，
另一方面，由三角函数的定义得，解得，故答案为.
本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
先由题意得到，根据题意求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
由题意得到，
其中，
因为，所以，
又不等式对任意实数x恒成立，
所以.
故答案
本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.
15、
【解析】
由题意，得，，则.
16、.
【解析】
分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.
详解：∵

，故答案为.
点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析,
【解析】
（1）令n=1，即可求出，计算出，利用错位相减求出。
（2）利用公式 化简即可得证。再利用，求出公差，即可写出通项公式。
【详解】
解：在中，令，得，所以
，①
，②
①②得
化简得
由得：，两式相减整理得：

从而有，相减得：
即
故数列为等差数列，又，故公差
本题主要考查利用错位相减法求等差乘等比数列的前n项的和，属于基础题。
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先证明线面垂直，CD⊥平面PAD，再证明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC 即可．
【详解】

（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分，
∴F为AC中点，
又E是PC中点，
在△CPA中，EF∥PA，且PA⊆平面PAD，
EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
平面 ∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC
本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理，要求熟练掌握相关的判定定理．
19、（1）或.（1），
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-1．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c1-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=1sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．
试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为1，∴a=c-4、b=c-1．
又因∠MCN=π，,可得,
恒等变形得c1-9c+14=0，解得c=2，或c=1．
又∵c＞4，∴c=2．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得
.
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=
,
又,
当,即时，f（θ）取得最大值.
考点：1.余弦定理;1．正弦定理
20、（1）；（2）.
【解析】
设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则的通项公式可求；
求出，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解．
【详解】
为等差数列，设公差为d，
由已知可得，解得，．
；
由，，
等比数列的公比，
的前n项和公式．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题．
21、（1），，年龄在的人数为（2）
【解析】
（1）根据第一组的频数和频率可得，由所有频率和为1可得，再求得间的频率后可得人数；
（2）把第一组人数编号，如男性为，女性为，然后用列举法写出任取3人的所有基本事件及至少有两名女生的基本事件，计数后可得所求概率．
【详解】
（1），
设第2组的频率为f，
，
所以，
第3组和第4组的频率为，
年龄在的人数为；
（2）记第1组中的男性为，女性为，
随机抽取3名群众的基本事件是：，
，
共20种；
其中至少有两名女性的基本事件是：共16种.
所以至少有两名女性的概率为.
本题考查频率分布直方图，考查古典概型．解题关键是掌握性质：频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1．