2025年陕西省西安市碑林区教育局高一下数学期末统考试题含解析.doc

2025年陕西省西安市碑林区教育局高一下数学期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知一个等比数列项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的3倍，则这个数列的公比为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．下列函数中最小值为4的是( )
A． B．
C． D．
3．已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是
A． B． C． D．
4．用区间 表示不超过的最大整数，如，设，若方程 有且只有3个实数根，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )
A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ
7．一个扇形的弧长与面积都是3，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
8．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )

A．2 B． C． D．12
10．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）

A．4 B．5 C．8 D．9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．的最大值为______.
12．的内角的对边分别为，若，，，则的面积为__________.
13．竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式为.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中取的近似值为______.
14．若，则实数的值为_______.
15．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________
16．_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，，，求的值.
18．设数列的前项和，数列为等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．已知关于，的方程：表示圆.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若，过点作的切线，求切线方程.
20．如图，直三棱柱中，，，，，为垂足.

（1）求证：
（2）求三棱锥的体积.
21．已知圆过点,且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值；
（3）若是轴上的动点，分别切圆于两点，试问：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由数列为等比数列，则，结合题意即可得解.
【详解】
解：因为数列为等比数列，
设等比数列的公比为，
则，
又是奇数项之和的3倍，
则，
故选：B.
本题考查了等比数列的性质，重点考查了等比数列公比的运算，属基础题.
2、C
【解析】
对于A和D选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于B选项不能保证基本不等式中的“相等”要求，即可选出答案.
【详解】
对于A，当时，显然不满足题意，故A错误.
对于B，，，.
当且仅当，即时，取得最小值.
但无解，故B错误.
对于D，当时，显然不满足题意，故D错误.
对于C，，，.
当且仅当，即时，取得最小值，故C正确.
故选：C
本题主要考查基本不等式，熟练掌握基本不等式的步骤为解题的关键，属于中档题.
3、B
【解析】
根据条件若存在圆C上的点Q,使得为坐标原点),等价即可,求出不等式的解集即可得到的范围
【详解】

圆O外有一点P,圆上有一动点Q,在PQ与圆相切时取得最大值.
如果OP变长,那么可以获得的最大值将变小.可以得知,当,且PQ与圆相切时,,
而当时,Q在圆上任意移动,存在恒成立.
因此满足,就能保证一定存在点Q,使得,
否则,这样的点Q是不存在的，
点在直线上, ,即
,
,
计算得出,,
的取值范围是，
故选B.
考点：正弦定理、直线与圆的位置关系.
4、A
【解析】
由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围，即可得解.
【详解】
方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象
有且只有3个交点，
当0≤x＜1时，{x}＝x，当1≤x＜2时，
{x}＝x﹣1，当2≤x＜3时，{x}＝x﹣2，
当3≤x＜4时，{x}＝x﹣3，以此类推
如上图所示，实数k的取值范围为：
k，
即实数k的取值范围为：（，]，
故选A．

本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．
5、A
【解析】
连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD．

同理，FG∥BD，且FG=BD，
所以EH∥FG，且EH=FG．
所以四边形EFGH为平行四边形．
因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°
所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．
∴四边形EFGH的面积是2××()2=a2
故答案为a2，故选A.
考点：本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等，以及面积公式属于基础题．
点评：解决该试题的关键是先证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=60°，最后根据三角形的面积公式即可求出所求．
6、B
【解析】
解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别
故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大
故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．
故选B．
7、B
【解析】
根据扇形的弧长与面积公式,代入已知条件即可求解.
【详解】
设扇形的弧长为,面积为,半径为,圆心角弧度数为
由定义可得,代入
解得rad
故选:B
本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,属于基础题.
8、C
【解析】
先化简得，再利用三角函数图像变换的知识得解.
【详解】
因为，
所以要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度．
故选：C
本题主要考查三角函数的图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、C
【解析】
由该几何体的三视图可知该几何体为底面是等腰直角三角形的直棱柱，再结合棱柱的表面积公式求解即可.
【详解】
解：由该几何体的三视图可知，该几何体为底面是等腰直角三角形的直棱柱，
又由图可知底面等腰直角三角形的直角边长为1，棱柱的高为1，
则该几何体的表面积是，
故选：C.

本题考查了几何体的三视图，重点考查了棱柱的表面积公式，属基础题.
10、B
【解析】
由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．
【详解】
由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，
其中落入白色部分的有484个点，
则其中落入黑色部分的有605个点，
由随机模拟试验可得：，又，
可得，故选B．
本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
由余弦型函数的值域可求得整个函数的值域，进而得到最大值.
【详解】
，即
故答案为：
本题考查含余弦型函数的值域的求解问题，关键是明确在自变量无范围限制时，余弦型函数的值域为.
12、
【解析】
由已知及正弦定理可得：，进而利用余弦定理即可求得a的值，进而可求c，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】
，
由正弦定理可得：，
，
由余弦定理，可得，
整理可得：或（舍去），
，，
故答案为：.
本题注意考查余弦定理与正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.
13、3
【解析】
首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中取的近似值.
【详解】
由题知圆锥体的体积，
因为圆锥的底面周长为，
所以圆锥的底面面积，
所以圆锥体的体积，
根据题意与近似公式对比发现，
公式中取的近似值为.
故答案为：.
本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题.
14、
【解析】
由得，代入方程即可求解.
【详解】
,
.
,
,
,即，
故填.
本题主要考查了反三角函数的定义及运算性质，属于中档题.
15、9
【解析】
平分圆的直线过圆心，由此求得的等量关系式，进而利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由于直线始终平分圆的周长，故直线过圆的圆心，即，所以.
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.
16、2
【解析】
利用裂项求和法将化简为，再求极限即可.
【详解】
令.

.
.
故答案为：
本题主要考查数列求和中的列项求和，同时考查了极限的求法，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
根据角的范围结合条件可求出，的值，然后求出的值，再由二倍角公式可求解.
【详解】
由，，得.
又，则.

由，，得.
所以
又

所以
本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数关系以及二倍角公式，考察角变换的应用，属于中档题.
18、（1），；（2）
【解析】
(1)通过求解数列的通项公式,从而可以求出首项与公比,即可得到的通项公式;
(2)化简,利用错位相减法求解数列的和即可.
【详解】
(1)∴,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵,,
∴,从而,
∵数列为等比数列
∴数列的公比为,
从而;
(2)∵,,
∴

∴
∴
,
∴.
本题考查已知求的通项公式以及数列求和,考查计算能力.在通过求的通项公式时,不要忽略时的情况.
19、（Ⅰ）；
（Ⅱ）或.
【解析】
（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件,可得关于的不等式,即可求得的取值范围.
（Ⅱ）将代入,可得圆的方程,化为标准方程.讨论斜率是否存在两种情况.当斜率不存在时,可直接求得直线方程;当斜率存在时,由点斜式设出直线方程,结合点到直线的距离即可求得斜率,即可得直线方程.
【详解】
（Ⅰ）若方程表示圆
则
解得
故实数的取值范围为
（Ⅱ）若,圆：
①当过点的直线斜率不存在时,直线方程为
圆心到直线的距离等于半径,此时直线与相切
②当过点的直线斜率存在时,不妨设斜率为
则切线方程为,即
由圆心到直线的距离等于半径可知,
解得,即切线方程为
综上所述,切线方程为或
本题考查了直线与圆的位置关系的应用,圆的一般方程与标准方程的关系和转化,属于基础题.
20、 (1)见证明；(2)
【解析】
（1）先证得平面，由此证得，结合题意所给已知条件，证得平面，从而证得.（2）首先证得平面，由计算出三棱锥的体积.
【详解】
（1）证明：，∴，
又，从而平面
∵//，∴平面，平面，
∴
又，∴平面，于是
（2）解：，∴平面

∴
本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的判定定理的运用，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.
21、（1）；（2）26；（3）直线恒过定点．证明见解析
【解析】
（1）设圆心，根据则，求得和圆的半径，即可得到圆的方程；
（2）设，化简得，根据圆的性质，即可求解；
（3）设，圆方程，根据两圆相交弦的性质，求得相交弦的方程，进而可判定直线恒过定点．
【详解】
（1）由题意知，圆心在直线上，设圆心为，
又因为圆过点,
则，即，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆方程为．
（2）设，则，
又由，
所以，
即的最小值为．
（3）设，则以为直径的圆圆心为，半径为，
则圆方程为，
整理得，
直线为圆与圆的相交弦，
两式相减，可得得直线方程，
即，
令，解得，即直线恒过定点．
本题主要考查了圆的综合应用，其中解答中涉及到圆的标准方程的求解，圆的最值问题的求解，以及两圆的相交弦方程的求解及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．