2025届青海省西宁市沛西中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025届青海省西宁市沛西中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ）
A． B． C． D．
2．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．若变量满足约束条件则的最小值等于 （ ）
A． B． C． D．2
4．已知在中，为的中点，，，点为边上的动点，则最小值为（ ）
A．2 B． C． D．－2
5．已知偶函数在区间上单调递增，且图象经过点和，则当时，函数的值域是( )
A． B． C． D．
6．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)
A． B．
C． D．
7．若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为（，称为黄金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72，肚脐至足底长度为103，根据以上数据，作为形象设计师的你，对TA的着装建议是（ ）
A．身材完美，无需改善 B．可以戴一顶合适高度的帽子
C．可以穿一双合适高度的增高鞋 D．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子
8．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．一条直线
B．不共线的三个点
C．任意的三个点
D．两条直线
10．已知一组数1，1，2，3，5，8，，21，34，55，按这组数的规律，则应为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则满足的的取值范围为______________；
12．给出下列四个命题：
①正切函数 在定义域内是增函数；
②若函数，则对任意的实数都有；
③函数的最小正周期是；
④与的图象相同.
以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）
13．已知向量，，且，则_______．
14．已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______；
15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则_____.
16．已知数列，，若该数列是减数列，则实数的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列满足：．
（1）若为等差数列，求的通项公式；
（2）若单调递增，求的取值范围；
18．已知.
（Ⅰ）化简； （Ⅱ）已知，求的值．
19．已知等差数列满足，且.
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和的最大值.
20．在梯形ABCD中，，，，.

（1）求AC的长；
（2）求梯形ABCD的高．
21．在平面直角坐标系中，已知向量,,.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】，，又，，则，故选
2、A
【解析】
试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，
可得
考点：空间线面平行垂直的判定与性质
3、A
【解析】
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【详解】
解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立，解得A（﹣1，）．
∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）．
故选A．

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
4、C
【解析】
由，结合投影几何意义，建立平面直角坐标系，结合向量数量积的定义及二次函数的性质即可求解.
【详解】
由,结合投影几何意义有：过点作的垂线，垂足落在的延长线上，且
,
以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则
设，其中
则
解析式是关于的二次函数，开口向上，对称轴时取得最小值，
当时取得最小值
故选：
本题考查向量方法解决几何最值问题，属于中等题型.
5、A
【解析】
由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性确定函数的值域即可.
【详解】
偶函数在区间上单调递增，则函数在上单调递减，
且，
故函数的值域为.
本题选择A选项.
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6、D
【解析】
试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.
考点：函数图像
点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．
7、C
【解析】
对每一个选项逐一分析研究得解.
【详解】
A.,所以她的身材不完美，需要改善，所以该选项是错误的；
B.假设她需要戴上高度为x厘米的帽子，则，显然不符合实际，所以该选项是错误的;
C．假设她可以穿一双合适高度为y的增高鞋，则，所以该选项是正确的；
D.假设同时穿戴同样高度z的增高鞋与帽子,则，显然不符合实际，所以该选项是错误的.
故选：C
本题主要考查学生对新定义的理解和应用，属于基础题.
8、C
【解析】
由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.
【详解】
由题意知，关于的不等式的解集为.
（1）当，即．
当时，不等式化为，合乎题意；
当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；
（2）当，即时．
关于的不等式的解集为.
，解得．
综上可得，实数的取值范围是．故选：C．
本题考查二次不等式在上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
9、B
【解析】
试题分析：根据平面的基本性质及推论，即确定平面的几何条件，即可知道答案．
解：对于A．过一条直线可以有无数个平面，故错；
对于C．过共线的三个点可以有无数个平面，故错；
对于D．过异面的两条直线不能确定平面，故错；
由平面的基本性质及推论知B正确．
故选B．
考点：平面的基本性质及推论．
10、C
【解析】
易得从第三项开始数列的每项都为前两项之和,再求解即可.
【详解】
易得从第三项开始数列的每项都为前两项之和,故.
故选：C
该数列为“斐波那契数列”,从第三项开始数列的每项都为前两项之和,属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
本题首先可确定在区间上所对应的的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式的解集．
【详解】
当时，令，解得或，

如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知，
当时，的解集为
本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．
12、②③④
【解析】
①利用反例证明命题错误；②先判断为其中一条对称轴；③通过恒等变换化成；④对两个解析式进行变形，得到定义域和对应关系均一样.
【详解】
对①，当，显然，但，所以，不符合增函数的定义，故①错；
对②，当时，，所以为的一条对称轴，当取，取时，显然两个数关于直线对称，所以，即成立，故②对；
对③，，，故③对；
对④，因为，，两个函数的定义域都是，解析式均为，所以函数图象相同，故④对.
综上所述，故填：②③④.
本题对三角函数的定义域、值域、单调性、对称性、周期性等知识进行综合考查，求解过程中要注意数形结合思想的应用.
13、-2或3
【解析】
用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果.
【详解】
由题意得：
或
本题正确结果：或
本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
14、36
【解析】
根据条件得到的递推关系，从而判断出的类型求解出可能的通项公式，即可计算出的所有可能值，并完成求和.
【详解】
因为，所以或，
当时，是等差数列，，所以；
当时，是等比数列，，所以，
所以的所有可能值之和为：.
故答案为：.
本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值，难度一般.已知数列满足(为常数)，则是公差为的等差数列；已知数列满足，则是公比为的等比数列.
15、
【解析】
先利用同角三角函数的商数关系可得，再结合正弦定理及余弦定理化简可得，然后求解即可.
【详解】
解：因为，
则，
所以，
即，
所以，
则，
即，
即
即，
故答案为：.
本题考查了同角三角函数的商数关系，重点考查了正弦定理及余弦定理的应用，属中档题.
16、
【解析】
本题可以先通过得出的解析式，再得出的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数的取值范围．
【详解】
，

因为该数列是递减数列，
所以
即
因为
所以实数的取值范围是．
本题考察的是递减数列的性质，递减数列的后一项减去前一项的值一定是一个负值．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】
（1）设出的通项公式，根据计算出对应的首项和公差，即可求解出通项公式；
（2）根据条件得到，得到的奇数项成等差数列，的偶数项也成等差数列，根据单调递增列出关于的不等式，求解出范围即可.
【详解】
（1）设，所以，
所以，所以，所以；
（2）因为，所以，所以，
又因为，所以，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
因为单调递增，所以，所以，
所以.
本题考查等差数列的基本量求解以及根据数列的单调性求解参数范围，难度一般.(1)已知数列的类型和数列的递推公式求解数列通项公式时，可采用设出数列通项公式的形式，然后根据递推关系求解出数列通项公式中的基本量；(2)数列的单调性可通过与的大小关系来判断.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）-2。
【解析】
试题分析：（Ⅰ）5分
（Ⅱ）10分
考点：三角函数化简求值
点评：三角函数化简主要考察的是诱导公式，如
等，本题难度不大，需要学生熟记公式
19、（1）（2）144
【解析】
（1）把带入通项式即可求出公差，从而求出通项。
（2）根据（1）的结果以及等差数列前项和公式即可。
【详解】
（1）设公差为，则

则
则
（2）由等差数列求和公式得
则
所以当时，有最大值144
本题主要考查了等差数列的通项以及等差数列的前和公式，属于基础题
20、 (1) (2) .
【解析】
（1）首先计算，再利用正弦定理计算得到答案.
（2）中，由余弦定理得，作高，在直角三角形中利用三角函数得到高的大小.
【详解】
（1）在中，,.
由正弦定理得：，即.

（2）在中，由余弦定理得：，
整理得，解得．过点D作于E，
则DE为梯形ABCD的高．，，．
在直角中，．
即梯形ABCD的高为．
本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.
21、（1） 1 （2）
【解析】
（1）. 若,则，结合三角函数的关系式即可求的值；
（2）.若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求的值．
【详解】
（1）由，则
即，所以
所以
（2） ，

又与的夹角为，则
即
即
由，则
所以，即
本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．