安徽省合肥市第七中学2024-2025学年高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

安徽省合肥市第七中学2024-2025学年高一下数学期末质量跟踪监视试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．如图，A，B是半径为1的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为.图中△PAB的面积的最大值为（ ）

A．+sin2 B．sin+sin2
C．+sin D．+cos
3．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线与直线平行，则实数k的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
6．已知函数（，）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，若，的图象都经过点，则的一个可能值是（ ）
A． B． C． D．
7．下面的程序运行后，输出的值是（ ）

A．90 B．29 C．13 D．54
8．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．若实数x，y满足，则z＝x+y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是 （ ）

A．异面直线和所成的角为定值 B．直线和平面平行
C．三棱锥的体积为定值 D．直线和平面所成的角为定值
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，，则角的大小为____．
12．已知向量，的夹角为，若，，则________.
13．如图，在水平放置的边长为1的正方形中随机撤1000粒豆子，有400粒落到心形阴影部分上，据此估计心形阴影部分的面积为_________.

14．若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为____.
15．若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，,则该三棱锥的外接球的表面积为________.
16．（如下图）在正方形中，为边中点，若，则__________．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某工厂共有200名工人，已知这200名工人去年完成的产品数都在区间（单位：万件）内，其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成5组，第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图.

（1）选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
（2）现从（1）中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验，求选取的2名工人在同一组的概率.
18．直线经过点，且与圆相交与两点，截得的弦长为，求的方程.
19．某算法框图如图所示.

(1)求函数的解析式及的值；
(2)若在区间内随机输入一个值，求输出的值小于0的概率.
20．如图，在正中，，.

（1）试用，表示；
（2）若，，求.
21．已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
试题分析：将函数的图象向右平移,
可得，故选D．
考点：图象的平移．
2、B
【解析】
由正弦定理可得，，则，，当点在的中垂线上时，取得最大值，此时的面积最大，求解即可.
【详解】
在中，由正弦定理可得，，则.
，当点在的中垂线上时，取得最大值，此时的面积最大.
取的中点，过点作的垂线，交圆于点，取圆心为，则（为锐角），.
所以的面积最大为.
故选B.

本题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用，考查了三角函数的化简，考查了计算能力，属于基础题.
3、A
【解析】
利用平方化倍角公式和边化角公式化简得到，结合三角形内角和定理化简得到，即可确定的形状．
【详解】

化简得

即

即
是直角三角形
故选A
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
4、B
【解析】
根据分层抽样的规律，计算和的关系为： ，将选项代入判断不符合的得到答案.
【详解】
某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,
样本中的中年人为6人，则老年人为： 青年人为：

代入选项计算，B不符合
故答案为B
本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.
5、A
【解析】
由两直线平行的可得:，运算即可得解.
【详解】
解：由两直线平行的判定可得:，解得，
故选：A.
本题考查利用两直线平行求参数，属基础题.
6、D
【解析】
由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数的最小正周期为，则，所以函数，
的图象向右平移个单位长度，得到的图象，以为的图象都经过点，所以，又，
所以，所以，所以或，
所以或，因为，所以结合选项可知得一个可能的值为，故选D.
7、D
【解析】
根据程序语言的作用，模拟程序的运行结果，即可得到答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得
，
执行循环体，，
执行循环体，，
执行循环体，，
执行循环体，，
退出循环，输出的值为1．
故选：D．
本题考查利用模拟程序执行过程求输出结果，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
8、B
【解析】
∵，∴.
∴，即，
∴,，故选B.
【考点定位】
向量的坐标运算
9、D
【解析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.
【详解】
由实数，满足作出可行域，如图：

联立，解得，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，此时有最小值为.
故选：D.
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.
10、D
【解析】
结合条件和各知识点对四个选项逐个进行分析，即可得解.
【详解】
，在棱长为的正方体中，点在线段上运动
易得平面，
平面，
，故这两个异面直线所成的角为定值，故正确
，直线和平面平行，所以直线和平面平行，故正确
，三棱锥的体积还等于三棱锥的体积，
而平面为固定平面且大小一定，
，而平面
点到平面的距离即为点到该平面的距离，
三棱锥的体积为定值，故正确
，由线面夹角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时这个角是变化的，故错误
故选
本题考查了异面直线所成角的概念、线面平行及线面角等，三棱锥的体积的计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等这一结论，即等体积法的转换．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出的形式，进而求得结果.
【详解】
由正弦定理得：，即
则

本题正确结果：
本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.
12、
【解析】
由，展开后进行计算，得到的值，从而得到答案.
【详解】
因为向量，的夹角为，若，，
所以

，
所以.
故答案为：.
本题考查求向量的模长，向量的数量积运算，属于简单题.
13、0.4
【解析】
根据几何概型的计算，反求阴影部分的面积即可.
【详解】
设阴影部分的面积为，根据几何概型的概率计算公式：
，解得.
故答案为：.
本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题.
14、
【解析】
先作出线面角，再利用三角函数求解即可．
【详解】
如图，设正四棱锥的棱长为1，作在底面的射影，则为与底面所成角，为正方形的中心，
，，
，
故答案为．

本题考查线面角，考查学生的计算能力，作出线面角是关键．属于基础题.
15、
【解析】
由已知计算后知也是以为斜边的直角三角形，这样的中点到棱锥四个顶点的距离相等，即为外接球的球心，从而很容易得球的半径，计算出表面积．
【详解】
因为，所以是等腰直角三角形，且为斜边，为的中点，

因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，点即为球心，则该三棱锥的外接圆半径，故该三棱锥的外接球的表面积为.
本题考查球的表面积，考查三棱锥与外接球，解题关键是找到外接球的球心，证明也是以为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质是本题的关键．也是寻找外接球球心的一种方法．
16、
【解析】
∵ ，根据向量加法的三角形法则，得到 ∴λ=1， ．则λ+μ=．
故答案为．
点睛：此题考查的是向量的基本定理及其分解，由条件知道，题目中要用和，来表示未知向量，故题目中要通过正方形的边长和它特殊的直角，来做基底，表示出要求的向量，根据平面向量基本定理，系数具有惟一性，得到结果．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）第1组：2；第2组：8,；第3组：9；第4组：3；第5组：3 （2）
【解析】
（1）根据频率之和为列方程，解方程求得的值.然后根据分层抽样的计算方法，计算出每组抽取的人数.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
（1）：，.
用分层抽样比较合适.
第1组应抽取的人数为，
第2组应抽取的人数为，
第3组应抽取的人数为，
第4组应抽取的人数为，
第5组应抽取的人数为.
（2）（1）中25人的样本中的优秀员工中，
第4组有3人，记这3人分别为，
第5组有3人，记这3人分别为.
从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.
选取的2名工人在同一组的基本事件有，，，，，共6个，
故选取的2名工人在同一组的概率为.
本小题主要考查补全频率分布，考查分层抽样，考查古典概型的计算，属于基础题.
18、或
【解析】
直线截圆得的弦长为，结合圆的半径为5，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出直线斜率，由点斜式可得结果.
【详解】
设直线的方程为，即，
因为圆的半径为5，截得的弦长为
所以圆心到直线的距离，
即或，
∴所求直线的方程为或.
本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.
19、（1）；（2）
【解析】
(1)从程序框图可提炼出分段函数的函数表达式，从而计算得到的值;
(2)此题为几何概型，分类讨论得到满足条件下的函数x值，从而求得结果.
【详解】
(1)由算法框图得：
当时，，当时，，当时，，

，
(2)当时，，当时，由得
故所求概率为
本题主要考查分段函数的应用，算法框图的理解,意在考查学生分析问题的能力.
20、（1）；（2）-2
【解析】
（1）由，可得，整理可求出答案；
（2）用、分别表示和，进而求出即可.
【详解】
（1）因为，则，所以.
（2）当时，，因为，所以为边的三等分点，则，
故.
本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.
21、 (1) ；(2)
【解析】
（1）由，构造是以为首项，为公比等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；
（2）由（1）得，利用裂项相消可求.
【详解】
（1）由得：，即，且
数列是以为首项，为公比的等比数列
数列的通项公式为：
（2）由（1）得：

关系式可构造为，中档题。