2025届江苏省南通市西亭高级中学数学高一第二学期期末预测试题含解析.doc

2025届江苏省南通市西亭高级中学数学高一第二学期期末预测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
2．的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
4．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）
A． B． C． D．
5．在中，分别是角的对边，,则角为( )
A． B． C． D．或
6．已知在中，，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）
A． B． C． D．
8．计算:
A． B． C． D．
9．将边长为2的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球表面积为（）
A． B． C． D．
10．以点为圆心，且经过点的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，是与的等比中项，则最小值为_________．
12．计算：________.
13．已知向量，，则______.
14．已知，且是第一象限角，则的值为__________.
15．已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.
16．若正实数满足，则的最大值为__________ .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，且
（1）求的值；
（2）求的值．
18．已知数列的前项和为，点在直线上.数列满足且，前9项和为153.
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；
(3)设，问是否存在，使得成立？若不存在，请说明理由.
19．在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上
（1）若，求点P的坐标：
（2）若的面积为10，求点P的坐标．
20．已知直线截圆所得的弦长为．直线的方程为．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过定点，点在圆上，且，为线段的中点，求点的轨迹方程.
21．从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求：
（1）一切可能的结果组成的基本事件空间．
（2）取出的两件产品中恰有一件次品的概率
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】
由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：

此时b，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若点M在点A的左侧，

则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|，
即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，
故有1b．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选B．
本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
2、A
【解析】
利用诱导公式将转化到，然后直接计算出结果即可.
【详解】
因为，
所以.
故选：A.
本题考查正切诱导公式的简单运用，难度较易.注意：.
3、C
【解析】
由于故，故，所以.由于，由于，所以，故.综上所述选.
4、B
【解析】
试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B．
考点：概率问题
5、D
【解析】
由正弦定理，可得，即可求解的大小，得到答案．
【详解】
在中，因为，
由正弦定理，可得，
又由，且，所以或，故选D．
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练利用正弦定理，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6、A
【解析】
，不妨设，,
则 ，选A.
7、A
【解析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解.
【详解】
由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，
设，则，
所以
，
所以当时，取得最小值为，
故选A.
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
根据正弦余弦的二倍角公式化简求解.
【详解】
，
故选A.
本题考查三角函数的恒等变化，关键在于寻找题目与公式的联系.
9、C
【解析】
根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥的外接球直径，从而求出外接球的表面积，得到答案.
【详解】
由题意，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，
如图所示，
则,
三棱锥的外接球直径为，即半径为，
外接球的表面积为，故选C.

本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及外接球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.
10、B
【解析】
通过圆心设圆的标准方程，代入点即可．
【详解】
设圆的方程为：，又经过点，所以，即，所以圆的方程：．
故选B
此题考查圆的标准方程，记住标准方程的一般设法，代入数据即可求解，属于简单题目．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
根据等比中项定义得出的关系，然后用“1”的代换转化为可用基本不等式求最小值．
【详解】
由题意，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以最小值为1．
故答案为：1．
本题考查等比中项的定义，考查用基本不等式求最值．解题关键是用“1”的代换找到定值，从而可用基本不等式求最值．
12、3
【解析】
直接利用数列的极限的运算法则求解即可．
【详解】
.
故答案为：3
本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题．
13、
【解析】
求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．
【详解】
由题意得，.，.
，，
.
故答案为：．
本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．
14、；
【解析】
利用两角和的公式把题设展开后求得的值，进而利用的范围判断的范围，利用同角三角函数的基本关系求得的值，最后利用诱导公式和对原式进行化简，把的值和题设条件代入求解即可.
【详解】
，
，
即，，
两边同时平方得到：，解得，
是第一象限角，
，得，
，即为第一或第四象限，
，
.
故答案为：.
本题考查了两角差的余弦公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记三角函数中的公式，属于中档题.
15、
【解析】
先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.
【详解】
依题意.所以方差为.
故答案为：.
本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.
16、
【解析】
可利用基本不等式求的最大值.
【详解】
因为都是正数，由基本不等式有，
所以即，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）由条件先求得然后再用二倍角公式求；
（2）利用角的变换求出，在根据的范围确定的值．
【详解】
(1)因为,所以,
所以,
所以；
(2)因为,所以
因为,所以,
由(1)得,所以
＝,
因为,
所以.
根据已知条件求角的步骤：
（1）求角的某一个三角函数值；
（2）确定角的范围；
（3）根据角的范围写出所求的角．
在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
18、 (1) ;(2)1009;(3)m=11.
【解析】
(1)运用数列的通项公式和前n项和的关系，即可得到数列的通项公式；运用等差数列的通项和求和公式，求出公差，即可得到数列的通项公式；
(2)化简，运用裂项相消法求和，求出数列的前n项和为，再由数列的单调性，即可得出k的最小值；
(3)分m为奇数和m为偶数，分别利用条件，求出m的值，可得结论.
【详解】
（1）
（2）

（3）当为奇数时，
当为偶数时，
.
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，数列的项与和的关系，裂项相消法求和，应用题的条件，得到相应的结果.
19、 (1) ；(2) 或
【解析】
（1）利用两直线垂直，斜率之积为-1进行求解
（2）将三角形的面积问题转化成点到直线的距离公式进行求解
【详解】
（1）设P点坐标为，由题意，直线AB的斜率；
因为，所以直线PB存在斜率且，
即，解得；故点P的坐标为；
（2）设P点坐标为，P到直线AB的距离为d；
由已知，直线AB的方程为；
的面积．得，
即，解得或；所以点P的坐标为或
两直线垂直的斜率关系为；已知两点坐标时，距离公式为；三角形面积问题，常可转化为点到直线距离公式进行求解.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用直线截圆得到的弦长公式可得半径r，从而得到圆的方程；（2）由已知可得直线l1恒过定点P（1,1），设MN的中点Q（x，y），由已知可得，利用两点间的距离公式化简可得答案.
【详解】
（1）根据题意，圆的圆心为（0，0），半径为r，
则圆心到直线l的距离，
若直线截圆所得的弦长为，
则有，解可得，则圆的方程为；
（2）直线l1的方程为，即，
则有，解得，即P的坐标为（1，1），
点在圆上，且，为线段的中点，则，
设MN的中点为Q（x，y），
则，即，
化简可得：即为点Q的轨迹方程.
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.
21、 (1) 和 ；(2)
【解析】
（1）注意先后顺序以及是不放回的抽取；（2）在所有可能的事件中寻找符合要求的事件，然后利用古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】
（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，
即和
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品
（2）用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，
则
∴事件A由4个基本事件组成，因而，=．
本题考查挂古典概型的基本概率计算，难度较易.对于放回或不放回的问题，一定要注意区分其中的不同.