2025届福建省福州市琅岐中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届福建省福州市琅岐中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．1 B．4
C．2 D．
2．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）

A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13
3．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除：（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元.
新的个税政策的税率表部分内容如下：
级数
一级
二级
三级
…
每月应纳税所得额元（含税）

…
税率（%）
3
10
20
…
现有李某月收入为19000元，膝下有一名子女，需赡养老人（除此之外无其它专项附加扣除），则他该月应交纳的个税金额为( )
A．570 B．890 C．1100 D．1900
4．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是　　
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
5．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
9．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
10．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）
A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量、满足||＝2，且与的夹角等于，则||的最大值为_____．
12．已知点在直线上，则的最小值为__________.
13．已知扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积为_______.
14．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.
15．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.
16．一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，则灯塔和轮船原来的距离是_____海里．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在数列中，，.
（1）分别计算，，的值；
（2）由（1）猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
18．已知三角形的三个顶点.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线方程.
19．为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，，，，.
（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.
20．已知等比数列的各项为正数，为其前项的和，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及其前项的和．
21．求值：（1）一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数；
（2）已知，计算.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：由题意得，根据等比数列的性质可知，又因为
，故选C．
考点：等比数列的性质．
2、D
【解析】
分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.
详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，
所以中间一个矩形最该，故数据的众数为，
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，
第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，
所以中位数是，故选D.
点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
3、B
【解析】
根据题意，分段计算李某的个人所得税额，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，李某月应纳税所得额（含税）为元，
不超过3000的部分的税额为元，
超过3000元至12000元的部分税额为元，
所以李某月应缴纳的个税金额为元.
故选：B.
本题主要考查了分段函数的实际应用与函数值的计算问题，其中解答中认真审题，合理利用分段函数进行求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
4、C
【解析】
由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.
【详解】
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．
在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；
在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，
是互斥而不对立的两个事件，故C成立；
在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；
本题选择C选项.
“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
5、B
【解析】
分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：由题意,，
则，很明显
n⩾2时,，
两式作差可得：，
则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
则an−kn=(2−k)n+2，
则数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即，解得：.
实数的取值范围为.
本题选择B选项.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
6、C
【解析】
首先根据题意求出，再根据正弦函数的定义即可求出的值.
【详解】
，.
故选：C
本题主要考查正弦函数的定义，属于简单题.
7、C
【解析】
由题意得圆心为，半径为．
圆心到直线的距离为，
由直线与圆有公共点可得
，即，解得．
∴实数a取值范围是．
选C．
8、B
【解析】
先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.
【详解】
因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，
所以，
因此.
故选B
本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.
9、C
【解析】
由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．
【详解】
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得.
故选C．
本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.
10、D
【解析】
直接利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】
因为每一尺的重量构成等差数列，，，
，
数列的前5项和为．
即金锤共重15斤，
故选D．
本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
在中，令，可得，可得点在半径为的圆上，，可得，进而可得的最大值．
【详解】
∵向量、满足||＝1，且与的夹角等于，
如图在中，令，，可得
可得点B在半径为R的圆上，1R4，R＝1．
则||的最大值为1R＝4

本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．
12、5
【解析】
由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.
【详解】
由题得表示点到点的距离.
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
13、
【解析】
用弧度制表示出圆心角，然后根据扇形面积公式计算出扇形的面积.
【详解】
圆心角为对应的弧度为，所以扇形的面积为.
故答案为：
本小题主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面积的计算，属于基础题.
14、
【解析】
根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值
【详解】
因为
所以角最大值为
本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题
15、0
【解析】
将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为，计算得到答案.
【详解】
如图所示：
将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为
或
故答案为0

本题考查了直线和圆相交问题，判断每段弧对应的圆周角为是解题的关键.
16、
【解析】
画出示意图，利用正弦定理求解即可.
【详解】
如图所示：为灯塔，为轮船

，，则在中有：，且海里，则解得：海里.
本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是能通过题意将航海问题的示意图画出，然后选用正余弦定理去分析问题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ,；
(2) ,证明见解析
【解析】
(1)分别令即可运算得出，，的值；
(2)由(1)可猜想出,当时成立,再假设当时,
成立,再利用推导出
即可.
【详解】
(1)令有；
令有；
令有
所以，，
(2)由(1)可得,,,,故可猜想.
证明：当时, 成立；
假设当时, 成立,
且即
当时, ,即
,化简得,
,
即也满足,当时成立,
故对于任意的,有,证毕.
所以.
本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为：
(1)证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1；
(2)假设当()且为自然数）时命题成立,证明当时命题也成立.
综合(1)(2),对一切自然数,命题都成立.
18、（1）（2）
【解析】
（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.
【详解】
解：（1），，直线BC的方程为，即.
（2），
直线BC边上的高所在的直线的斜率为，
又，
直线BC边上的高的方程为: ，
即BC边上的高所在直线方程为.
本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.
19、（1）；（2）正相关；（3）2.2千元.
【解析】
（1）直接利用公式计算回归方程为：.
（2）由（1），故正相关.
（3）把代入得：.
【详解】
（1）∵，，样本中心点为：
∴由公式得：
把代入得：
所求回归方程为：；
（2）由（1）知，所求出方程的系数为：，，
∵，
∴与之间是正相关.
（3）把代入得：（千元）
即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.
本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力.
20、（Ⅰ）（Ⅱ），
【解析】
（Ⅰ）设正项等比数列的公比为且，由已知列式求得首项与公比，则数列的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由数列的分组求和即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，等比数列的公比，且，
所以，
解得，或（舍去），
则所求数列的通项公式为.
（Ⅱ）由题意得，
故

本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式的应用，同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）设出扇形的半径为，弧长为，利用面积、周长的值，得到关于的方程；
（2）由已知条件得到，再代入所求的式子进行约分求值.
【详解】
（1）设扇形的半径为，弧长为，则解得：
所以圆心角的弧度数.
（2）因为，所以，
所以.
若三个中，只要知道其中一个，则另外两个都可求出，即知一求二.