广东省佛山市荣山中学2025年数学高一下期末达标检测试题含解析.doc

广东省佛山市荣山中学2025年数学高一下期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（ ）

A． B． C． D．
2．若函数（）有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中, ,则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．Rt△ABC的三个顶点都在一个球面上，两直角边的长分别为6和8，且球心O到平面ABC的距离为12，则球的半径为（　　　　）
A．13 B．12 C．5 D．10
5．中,，则（ ）
A．5 B．6 C． D．8
6．在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为（ ）.
A．ｙ＝－ｘ＋２ B．ｙ＝－ｘ－２ C．ｙ＝ｘ＋２ D．ｙ＝ｘ－２
7．在等差数列中，已知，则数列的前9项之和等于（ ）
A．9 B．18 C．36 D．52
8．如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全。已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，则下列说法错误的是（ ）

A．3球以下（含3球）的人数为10
B．4球以下（含4球）的人数为17
C．5球以下（含5球）的人数无法确定
D．5球的人数和6球的人数一样多
9．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
A． B． C． D．
10．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若在上是减函数，则的取值范围为______.
12．在等比数列中，，公比，若，则达到最大时n的值为____________．
13．已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为________.
14．已知函数，的最大值为_____.
15．点关于直线的对称点的坐标为_____．
16．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）已知向量，求与的夹角的余弦值；
（Ⅱ）已知角终边上一点，求的值．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求：
（2）求的面积.
19．已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．
20．已知四棱锥中，平面，，，，是线段的中点．

（1）求证：平面；
（2）试在线段上确定一点，使得平面，并加以证明．
21．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．

（1）求证：//平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形．
【详解】
①平面，,都是直角三角形；
②是直角三角形；
③是直角三角形；
④由得平面，可知：也是直角三角形.
综上可知：直角三角形的个数是个，故选C．

本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．
2、A
【解析】
函数（）有两个不同的零点等价于函数在均有一个解，再解不等式即可.
【详解】
解：因为，
由函数（）有两个不同的零点，
则函数在均有一个解，
则，解得：，
故选：A.
本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题.
3、C
【解析】
直接利用正弦定理余弦定理化简得到，即得解.
【详解】
由已知得，由正、余弦定理得，
即，即，
故是直角三角形.
故答案为：C
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理水平.
4、A
【解析】
利用勾股定理计算出球的半径.
【详解】
的斜边长为，所以外接圆的半径为，所以球的半径为.
故选：A
本小题主要考查勾股定理计算，考查球的半径有关计算，属于基础题.
5、D
【解析】
根据余弦定理，可求边长.
【详解】
，代入数据
，化解为
解得 或（舍）
故选D.
本题考查了已知两边及其一边所对角，求另一边，这种题型用余弦定理，属于基础题型.
6、A
【解析】
直线的斜率为tan135°=-1，由点斜式求得直线的方程为 y=-x+b,将截据y=0,x=2代入方程，解得b=2,所以，可得y=-x+2，故答案为A
7、B
【解析】
利用等差数列的下标性质，可得出，再由等差数列的前项和公式求出的值.
【详解】
在等差数列中，
故选：B
本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.
8、D
【解析】
据投篮成绩的条形统计图，结合中位数的定义，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】
根据投篮成绩的条形统计图，3球以下（含3球）的人数为，6球以下（含6球）的人数为，
结合中位数是5知4球以下（含4球）的人数为不多于17，
而由条形统计图得4球以下（含4球）的人数不少于，因此4球以下（含4球）的人数为17
所以5球的人数和6球的人数一共是17，显然5球的人数和6球的人数不一样多，故选D.
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9、A
【解析】
由几何概型公式：A中的概率为，B中的概率为，C中的概率为，D中的概率为 ．本题选择A选项.
点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
10、C
【解析】
抽取比例为,
，
抽取数量为20,故选C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
化简函数解析式，，时，是余弦函数单调减区间的子集，即可求解.
【详解】
,
时，,
且在上是减函数，
，
，
因为
解得.
本题主要考查了函数的三角恒等变化，余弦函数的单调性，属于中档题.
12、7
【解析】
利用，得的值
【详解】
因为，，所以为7.
故答案为：7
本题考查等比数列的项的性质及单调性，找到与1的分界是关键，是基础题
13、
【解析】
由周期求出，由图象的所过点的坐标求得，
【详解】
由题意，又，且，∴，，
由得
或，又，，
∴或，或，两根之和为．
故答案为：．
本题考查求三角函数的解析式，考查解三角方程．掌握正切函数的性质是解题关键．
14、
【解析】
化简，再利用基本不等式以及辅助角公式求出的最大值，即可得到的最大值
【详解】
由题可得：
由于，，所以，
由基本不等式可得：

由于，所以
所以，即的最大值为
故答案为
本题考查三角函数的最值问题，涉及二倍角公式、基本不等式、辅助角公式等知识点，属于中档题。
15、
【解析】
设关于直线的对称点的坐标为,再根据中点在直线上,且与直线垂直求解即可.
【详解】
设关于直线的对称点的坐标为,则中点为,
则在直线上,故①.
又与直线垂直有②,
联立①②可得.故.
故答案为：
本题主要考查了点关于直线对称的点坐标,属于基础题.
16、-8
【解析】
设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由已知分别求得及与，再由数量积求夹角计算结果；
（Ⅱ）利用任意角的三角函数的定义求得sinα，再由三角函数的诱导公式化简求值．
【详解】
（Ⅰ）∵，
∴，||＝5，||，
∴．
（Ⅱ）∵P（﹣4，3）为角α终边上一点，
∴，．
则sin2α．
本题考查利用数量积求向量的夹角，考查任意角的三角函数的定义，训练了利用诱导公式化简求值，是基础题．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由已知可先求，然后结合正弦定理可求的值；
（2）利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
（1），，，
，由正弦定理，可得：.
（2），
．
本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
19、：（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=1，d=1，从而得到{an}的通项公式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1），再由=a1Sk+1 ，求得正整数k的值．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=1，d=1．
∴{an}的通项公式 an =1+（n﹣1）1=1n．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1）．
∵若a1，ak，Sk+1成等比数列，∴=a1Sk+1 ，
∴4k1 =1（k+1）（k+3），k="2" 或k=﹣1（舍去），故 k=2．
考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．
20、（1）见解析（2）存在线段上的中点，使平面，详见解析
【解析】
（1）利用条件判断CM与PA、AB垂直，由直线与平面垂直的判定定理可证.
（2）取PB的中点Q，PA的中点F，判断四边形CQFD为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理可证；或取PB中点Q，证明平面CQM与平面DAP平行，再利用两平面平行的性质可证.
【详解】
解：（1）∵，∴是等边三角形，
∴，
又∵平面，平面，
∴，
又∵，
∴平面；
（2）取线段的中点，线段的中点，连结，

∴，
∵是线段的中点，，
∴，∴是平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
即存在线段上的中点，使平面.
本题考查空间直线与平面的平行、垂直判定与性质，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.
21、（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接交于点，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；
（2）取的中点，连接，由中位线的性质得到，且，可得出平面，于此得出直线与平面所成的角为，然后在中计算即可.
【详解】
（1） 连接，交于点，连接，由底面是菱形，知是的中点，又是的中点，∴ .
又∵平面，平面,∴平面；

（2）取中点，连接，
∵分别为的中点，∴，
∵平面，∴平面，
∴直线与平面所成角为，
∵，，∴.
本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．