2024-2025学年江西省上饶市广丰县新实中学数学高一下期末考试试题含解析.doc

2024-2025学年江西省上饶市广丰县新实中学数学高一下期末考试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一枚骰子连续投两次，则两次向上点数均为1的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，，，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知直线与圆相切，则的值是( )
A．1 B． C． D．
4．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ）
A． B． C． D．
5．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )

A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为19
6．已知函数，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
7．已知数列的前项和，则的值为（）
A．-199 B．199 C．-101 D．101
8．设,则( )
A． B．
C． D．
9．已知函数()的最小正周期为，则该函数的图象( )
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
10．在中，角对应的边分别是，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量、 的夹角为，且，，则__________．
12．方程，的解集是__________．
13．如图是一正方体的表面展开图.、、都是所在棱的中点.则在原正方体中：①与异面；②平面；③平面平面；④与平面形成的线面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值为.其中真命题的序号是______.

14．直线的倾斜角为_____________
15．对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为_____．
16．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同种产品，数量分别为90件，60件，30件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，采用层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了2件，应从甲车间的产品中抽取______件.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量＝(sin x，cos x)，＝(cos x，cos x)，＝(2，1)．
(1)若∥，求sin xcos x的值；
(2)若0＜x≤，求函数f(x)＝·的值域．
18．已知圆，点，直线.

（1）求与直线l垂直，且与圆C相切的直线方程；
（2）在x轴上是否存在定点B（不同于点A），使得对于圆C上任一点P，为常数？若存在，试求这个常数值及所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.
19．已知为锐角，.
（1）求的值；
（2）求的值．
20．已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列，的通项公式；
（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．求函数的单调递增区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
连续投两次骰子共有36种，求出满足情况的个数，即可求解.
【详解】
一枚骰子投一次，向上的点数有6种，则连续投两次骰子共有36种，
两次向上点数均为1的有1种情况，概率为.
故选:D.
本题考查古典概型的概率，属于基础题.
2、D
【解析】
直接运用正弦定理求解即可.
【详解】
由正弦定理可知中：，故本题选D.
本题考查了正弦定理的应用，考查了数学运算能力.
3、D
【解析】
利用直线与圆相切的条件列方程求解.
【详解】
因为直线与圆相切，所以
，，，故选D.
本题考查直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行判断，考查运算能力，属于基本题.
4、D
【解析】
由扇形的弧长公式列方程得解.
【详解】
设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得：
，解得：
故选D
本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题．
5、C
【解析】
试题分析：A选项，中位数是84；B选项，众数是出现最多的数，故是83；C选项，平均数是85，正确；D选项，方差是，错误．
考点：茎叶图的识别‚相关量的定义
6、A
【解析】
根据正弦函数的周期性及对称性，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，所以的最小正周期为，即，故①正确；
由，令，得的对称轴为，所以是的对称轴，不是的对称轴，故②正确，③不正确；
由，令，得的对称中心为，所以不是的对称中心，故④不正确.
故选：A
本题主要考查正弦函数的周期性以及对称性.
7、D
【解析】
由特点可采用并项求和的方式求得.
【详解】

本题正确选项：
本题考查并项求和法求解数列的前项和，属于基础题.
8、C
【解析】
函数，函数且，求出
【详解】
因为且
且
所以
故选：C
本题考查的是与反三角函数有关的定义域问题，较简单.
9、D
【解析】
∵函数()的最小正周期为，∴，，
令，，，，显然A，B错误；
令，可得：，，显然时，D正确
故选D
10、A
【解析】
根据正弦定理求得，根据大边对大角的原则可求得.
【详解】
由正弦定理得：

本题正确选项：
本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大边对大角的特点，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据向量的数量积的应用进行转化即可．
【详解】
，与的夹角为，
∴•||||cos4，
则，
故答案为．
本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．
12、
【解析】
用正弦的二倍角公式展开,得到,分两种情况讨论得出结果.
【详解】
解：
即,
即：或.
①由,,得.
②由,,得或.
综上可得方程,的解集是：

故答案为
本题考查正弦函数的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.
13、①②④
【解析】
将正方体的表面展开图还原成正方体，利用正方体中线线、线面以及面面关系，以及直线与平面所成角的定义和二面角的定义进行判断.
【详解】
根据条件将正方体进行还原如下图所示：

对于命题①，由图形可知，直线与异面，命题①正确；
对于命题②，、分别为所在棱的中点，易证四边形为平行四边形，
所以，，平面，平面，平面，命题②正确；
对于命题③，在正方体中，平面，
由于四边形为平行四边形，，平面.
、平面，，.
则二面角所成的角为，显然不是直角，
则平面与平面不垂直，命题③错误；
对于命题④，设正方体的棱长为，易知平面，则与平面所成的角为，由勾股定理可得，，
在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为，命题④正确；
对于命题⑤，在正方体中，平面，且，平面.
、平面，，，
所以，二面角的平面角为，
在中，由勾股定理得，，
由余弦定理得，命题⑤错误.
故答案为①②④.
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面关系的判断以及线面角、二面角的计算，判断时要从空间中有关线线、线面、面面关系的平行或垂直的判定或性质定理出发进行推导，在计算空间角时，则应利用空间角的定义来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
14、
【解析】
先求得直线的斜率，由此求得对应的倾斜角.
【详解】
依题意可知，直线的斜率为，故倾斜角为.
故答案为：
本小题主要考查直线斜率和倾斜角的计算，属于基础题.
15、
【解析】
根据的定义把带入即可。
【详解】
∵
∴
∵
∴①
∴②
①-②得
∴
故答案为：
本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。
16、.
【解析】
根据分层抽样中样本容量关系,即可求得从甲车间的产品中抽取数量.
【详解】
根据分层抽样为等概率抽样,所以乙车间每个样本被抽中的概率等于甲车间每个样本被抽中的概率
设从甲车间抽取样本为件
所以,解得
所以从甲车间抽取样本件
故答案为:
本题考查了分层抽样的特征及样本数量的求法,属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） ；（2）
【解析】
(1)由向量共线得tan x＝2，再由同角三角函数基本关系得sin xcos x＝，即可求解；(2)整理f(x)＝·＝sin（2x+）+，由三角函数性质即可求解最值
【详解】
(1)∵∥，∴sin x＝2cos x，tan x＝2.
∴sin xcos x＝＝=
(2)f(x)＝·＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋(1＋cos 2x)=sin（2x+）+
∵0＜x≤，∴＜2x+≤.∴sin（2x+）≤1
∴1≤f(x)≤.所以f(x)的值域为：
本题考查三角函数恒等变换，同角三角函数基本关系式，三角函数性质，熟记公式，准确计算是关键，是中档题
18、（1）或
（2）存在，，
【解析】
（1）先设与直线l垂直的直线方程为，再结合点到直线的距离公式求解即可；
（2）先设存在，利用都有为常数及在圆上，列出等式，然后利用恒成立求解即可.
【详解】
解：（1）由直线.
则可设与直线l垂直的直线方程为，
又该直线与圆相切，
则，则，
故所求直线方程为或；
（2）假设存在定点使得对于圆C上任一点P，为常数，
则,
所以，
将代入上式化简整理得：
对恒成立，
所以 ，
解得或，
又，
即，
所以存在定点使得对于圆C上任一点P，为常数.
本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了点与圆的位置关系，属中档题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；
（2）先由题意求出，，
根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）因为为锐角，所以，，
又，所以，
，
所以
.
本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.
20、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1
【解析】
（Ⅰ）由已知得，
即， 由2b1=a1+a2=25，得b1=， 由a22=b1b2，得b2=18，
∴{}是以为首项，为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴，
因为，，成等比数列
所以.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
原式化为，
即f（n）=恒成立，
当a–1＞0即a＞1时，不合题意；
当a–1=0即a=1时，满足题意；
当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，
∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；
综上，a≤1.
21、（）
【解析】
先化简函数得到,再利用复合函数单调性原则结合整体法求单调区间即可.
【详解】
,
令,则,
因为是的一次函数,且在定义域上单调递增,
所以要求的单调递增区间,即求的单调递减区间,
即(),
∴(),
即(),
∴函数的单调递增区间为().
本题考查求复合型三角函数的单调区间,答题时注意,复合函数的单调性遵循“同增异减”法则.